Coordenadas Polares, Tangenciais e Normais

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Teoria

Introdução

Imagina que eu quero calcular o módulo da velocidade do carinha aqui embaixo em relação ao chão:

Onde temos que θ t = 0.15 t 2 e r t = 0.9 - 0.12 t 2 , no instante em que t = 1.869 s . Pensando no que a gente viu na teoria passada, a gente poderia tentar escrever o vetor posição, decompondo r como no desenho abaixo

Então como vai ficar o nosso vetor posição?

r → = 0.9 - 0.12 t 2 ⏟ r t cos ⁡ 0.15 t 2 ⏟ cos ⁡ θ t , 0.9 - 0.12 t 2 ⏟ r t s e n   0.15 t 2 ⏟ s e n   θ t

E agora como faz para obter a velocidade? Só derivar esse amigo aí! Pô vai dar um trabalhão isso aí. Será que não tem um jeito mais fácil de fazermos essa conta?

Claro que tem! É para isso que serve o que chamamos de coordenadas polares. Vamos conhecer melhor isso aí!

Coordenadas Polares

Nessas coordenadas a gente cria dois vetores unitários perpendiculares entre si:

  • Um na direção do raio da trajetória e que vamos chamar de e r ^ ;
  • Outro que é tangente à trajetória e que vamos chamar de e θ ^ .

E quando eu sei que tenho que usar coordenadas polares? Dê preferência por usar estas coordenadas quando você tiver:

  • Uma trajetória curvilínea;
  • Um ponto de referência fixo em volta do qual o corpo gira;
  • E quando a questão te der um ângulo θ que o corpo faz com relação à horizontal.

Então, sempre vamos colocar a equação da posição r e a equação do ângulo θ em função das coordenadas polares, assim:

r = r e r ^

θ =   θ e θ ^

Nós aprendemos que a velocidade é a derivada do deslocamento com relação ao tempo. Mas como fazemos para derivar os vetores unitários e r ^ e e θ ^ com relação ao tempo? Vamos ter o seguinte:

d e r ^ d t =   d θ d t e θ ^       o u     d e r ^ d t =   θ ˙ e θ ^

d e θ ^ d t = -   d θ d t e r ^     o u     d e θ ^ d t =   -   θ ˙ e r ^

Lembrando que o pontinho em cima do ângulo θ indica derivada primeira.

Então, a velocidade é:

v → =   d r → d t     →     v → =   d ( r e r ^ ) d t  

v → = r ˙ e r ^ + r θ ˙ e θ ^  

Vamos separar os componentes para visualizarmos melhor:

v r =   r ˙           e           v θ = r θ ˙

Para calcularmos o módulo da velocidade:

v → = r ˙ 2 + r θ ˙ 2  

Vamos ver agora a aceleração. Nós vimos que a aceleração é a derivada da velocidade no tempo. Então, vamos seguir o mesmo raciocínio:

a → =   d v → d t     →     a → =   d ( r ˙ e r ^ + r θ ˙ e θ ^ ) d t

a → = ( r ¨ - r θ ˙ 2 ) e r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) e θ ^

Não esqueça que os dois pontinhos em cima da variável indicam que é derivada segunda.

Para facilitar, vamos separar a aceleração nas suas componentes:

a r =   r ¨ - r θ ˙ 2           e           a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Então, o módulo da aceleração será:

a → = r ¨ - r θ ˙ 2 2 + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ 2

Vamos resolver o exemplo inicial usando coordenadas polares para entendermos melhor.

Primeiro, vamos posicionar nossas coordenadas:

Agora vamos escrever a equação da posição r e a equação do ângulo θ em função das coordenadas polares, assim:

r t = ( 0.9 - 0.12 t 2 ) e r ^

θ t = 0.15 t 2   e θ ^

O que a questão pede é o módulo da velocidade quando t = 1.869 s . Vamos calcular a velocidade então:

v r =   r ˙           e           v θ = r θ ˙

Vamos calcular primeiro r ˙ e θ ˙ que é só derivar as expressões de r e de θ em função do tempo:

r ˙ = - 0.24 t       e       θ ˙ = 0.3 t

Substituindo na expressão da velocidade:

v r =   r ˙       →         v r = - 0.24 t  

v θ = r θ ˙       →         v θ = ( 0.9 - 0.12 t 2 ) ( 0.3 t )

Como ele quer no tempo t = 1.869 s , vamos ter:

v r =   - 0.449

v θ = 0.270

Vamos calcular o módulo agora:

v → = r ˙ 2 + r θ ˙ 2

v → = - 0.449 2 + 0.270 2 = 0.524

Show! Ficou bem mais fácil! Então, quando você tiver problemas em que for fácil escrever a distância entre o seu objeto e algo fixo e o ângulo dessa distância, a boa é usar coordenadas polares.

Agora vamos ver outro tipo de coordenada muito utilizada.

Coordenadas Tangenciais e Normais

Nessas coordenadas, os nossos vetores unitários perpendiculares entre si vão ser:

  • Um normal à trajetória cujo sentido positivo vai ser sempre apontando para o centro da curva e que vamos chamar de   e ^ n ;
  • Outro tangente à trajetória cujo sentido positivo aponta para o sentido de crescimento do deslocamento e que vamos chamar de e t ^ .
  • Vamos chamar o raio da curvatura de ρ .

    Repare que esse sistema de coordenadas não é fixo, ele tem sua origem no corpo que está se movendo e vai andando junto com o corpo.

    E quando vou usar as coordenadas tangenciais e normais? Dê preferência por usar estas coordenadas:

  • Quando não tiver um ponto de referência fixo;
  • Quando não tiver um ângulo com relação à horizontal;
  • Quando conhecemos toda a trajetória, por exemplo se for um círculo.

Agora vamos utilizar essa nova coordenada para descrever a velocidade. Sabemos que a velocidade é sempre tangente à trajetória, então a velocidade vai ser sempre na nossa direção tangencial:

v → = v e t ^

Onde, o módulo da velocidade é:

v =   d r d t

E a aceleração? Sabemos que é só derivar a velocidade em função do tempo. Mas como fica a derivada do vetor unitário e t ^ ? Fica assim:

d e t ^ d t =   v ρ   e ^ n

Então, a aceleração vai ser:

a → =   d v → d t     →     a → =   d v d t e ^ t + v d e t ^ d t  

a → =   d v d t e ^ t +   v v ρ   e ^ n

Podemos escrever:

a → =   v ˙ e ^ t + v 2 ρ e ^ n

Com isso, dizemos que a aceleração tem uma componente tangencial e outra normal.

A gente aprendeu no ensino médio que a aceleração que muda a velocidade, certo? Então um objeto que se move com velocidade constante tem aceleração zero, né? Errado!

Olha ali na expressão da aceleração: se o módulo da velocidade é constante, a gente vai ter que:

v ˙ = 0

Ou seja, não tem componente tangencial da aceleração. Mas, se o corpo estiver fazendo uma curva, essa trajetória tem um raio ρ ≠ 0 ! Então eu vou ter componente normal da aceleração! Ou seja, cada componente da aceleração vai ter uma função:

  • Componente tangencial muda o módulo da velocidade e é sempre tangente à trajetória. Vamos chamar esta componente de aceleração tangencial e seu módulo é:
  • a t = v ˙    

  • Componente normal muda direção e o sentido da velocidade e sempre aponta para o centro da trajetória. Vamos chamar esta componente de aceleração centrípeta e seu módulo é:

a n = v 2 ρ

O módulo do vetor aceleração é:

a → = v ˙ 2 + v 2 ρ 2

Um corpo com velocidade constante não tem aceleração tangencial, mas todo corpo que esteja fazendo um movimento curvo vai sempre ter aceleração centrípeta.

O sistema de coordenadas tangenciais e normais é muito usado para descobrir o raio de curvatura, ρ , da trajetória. Em outros casos, os exercícios pedem para calcular a aceleração do corpo. Mas isso não é regra, é só uma dica.

Beleza! Agora vamos praticar para pegar o jeito da coisa!

Coordenadas Tangenciais e Normais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um carro de teste parte do repouso em uma pista horizontal circular de 80   m de raio e aumenta sua velocidade a uma taxa uniforma para atingir os 100   k m / h em 10 segundos. Determine o módulo a da aceleração total do carro 8 segundos após a partida.

Passo 1

Vamos primeiro calcular a aceleração média do carro. Podemos fazer isso da seguinte forma:

a m = ∆ V ∆ t

Perceba que a velocidade está em k m / h . Vamos dividir por 3,6 para passar para m / s :

∆ V = 100   k m / h = 100 3,6 = 27,8   m / s

Assim:

a m = 27,8 10 = 2,78   m / s 2

Assim, a velocidade tangencial em função do tempo pode ser dada por:

v t t = 2,78 t

Passo 2

Beleza, então a velocidade para o tempo t = 8   s :

v 8 = 2,78 . 8 = 22,2   m / s

Assim, podemos calcular a aceleração centrípeta:

a c t p = V 2 R = 22 2 80 = 6,17   m / s 2

Passo 3

Assim, a aceleração total é dada por:

a → = a = 6,17 2 + 2,78 2 = 6,77   m / s 2

Resposta

a = 6,77   m / s 2

Exercício Resolvido #2

Na parte inferior A da acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo em um plano vertical, o módulo da aceleração total do avião é de 3 g . Se a velocidade do avião em relação ao ar é de 800   k m / h e está aumentando na taxa de 20   k m / h por segundo, calcule o raio de curvatura ρ da trajetória em A .

Passo 1

Nessa questão, vamos lidar com 3 acelerações:

  • Aceleração total: a
  • Aceleração tangencial : a t
  • Aceleração normal: a n

Perceba que ele está pedindo o raio de curvatura, sendo assim, teremos que lidar com a aceleração normal.

Passo 2

A aceleração tangencial pode ser calculada através de:

a t = ∆ V ∆ t

A variação de velocidade é dada por:

∆ V = 20   k m / h = 20 3,6 = 5,55   m / s

Isso está acontecendo em um intervalo de tempo ∆ t = 1   s :

a t = ∆ V ∆ t = 5,55 1 = 5,55   m / s 2

Passo 3

Agora, perceba que o enunciado disse que o módulo da aceleração total vale 3 g :

a = 3 g = 3 9,81 = 29,43   m / s 2

Passo 4

Assim, podemos dizer que a aceleração normal será:

a n = a 2 - a t 2 = ( 29,43 ) 2 - ( 5,55 ) 2 = 28,90   m / s 2

Passo 5

Então:

a n = V 2 ρ       →       ρ = V 2 a n

Sendo que:

V = 800   k m / h = 800 3,6 = 222,2   m / s

Assim:

ρ = 222,2 2 28,90 = 1709   m

Resposta

ρ = 1709   m

Exercício Resolvido #3

O foguete é lançado verticalmente e rastreado pela estação de radar mostrada. Quando θ chega a 60 ° , outras medições correspondentes fornecem os valores r = 9   k m , r ¨ = 21   m / s 2 , θ ˙ = 0,02   r a d / s . Calcule o módulo da velocidade e da aceleração do foguete nesta posição.

Passo 1

As velocidades nas coordenadas polares são:

Como sabemos:

v θ = r θ ˙ = 9 ( 10 3 ) 0,02 = 180   m / s

Além disso, olhando para o triângulo acima do triângulo maior:

v = v θ c o s θ = 180 cos ⁡ 60 ° = 180 0,5 = 360   m / s

Passo 2

E as acelerações total e radial são:

Usando:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 21 - 9 ( 10 3 ) 0,02 2 = 21 - 3,6 = 17,4   m / s 2

Passo 3

Agora, veja que:

a = a r cos ⁡ 90 - θ = a r s e n 60 °

a = 17,4 s e n 60 ° = 20,1   m / s 2

Resposta

a = 20,1   m / s 2

Exercício Resolvido #4

Na parte inferior de uma acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo em um plano vertical ( r θ ) a uma altitude de 400 metros, o avião P tem uma velocidade horizontal de 600   k m / h e nenhuma aceleração horizontal. O raio de curvatura da trajetória é 1200   m . Para o radar de rastreamento em O , determine os valores de r ¨ e θ ¨ registrado para esse instante.

Passo 1

Vamos primeiro desenhar esse sistema mostrando os ângulos de interesse:

Quem é a aceleração a ? É a aceleração centrípeta do avião, já que ele está descrevendo uma curva. E v é a velocidade do próprio avião.

Quanto vale θ ^ ?

θ ^ = a r c t g 400 1000 = a r c t g 0,4 = 21,8 °

E r :

r = 1000 2 + 400 2 = 1077   m

Passo 2

Bom, a velocidade nós temos que passar para m / s :

v = 600   k m / h = 600 3,6 = 166,7   m / s

Com isso, podemos calcular a aceleração centrípeta:

a = a c t p = v 2 R = 166,7 2 1200 = 23,1   m / s 2

Vamos calcular primeiro v r :

v r = r ˙

Já que é a taxa de crescimento ou decrescimento do raio r . Vamos ter que decompor v na direção r :

Assim:

v r = v c o s 21,8 ° = 166,7 cos ⁡ 21,8 ° = 154,7   m / s

E v θ ? v θ é a velocidade na direção θ :

v θ = - 166,7 s e n 21,8 ° = - 61,9   m / s

Só que:

v θ = r θ ˙     →       - 61,9 = 1077 θ ˙

θ ˙ = - 0,0575 r a d / s

Passo 3

E a aceleração radial? Da mesma forma que a velocidade radial, podemos usar seno e cosseno para calcular:

a r = a s e n 21,8 ° = 23,1 s e n 21,8 ° = 8,58   m / s 2

Só que:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

Então:

8,58 = r ¨ - 1077 - 0,0575 2

r ¨ = 12,15 m / s 2

Passo 4

E a aceleração na direção θ ? Será:

a θ = acos ⁡ 21,8 ° = 23,1 cos ⁡ 21,8 ° = 21,45   m / s 2

Lembrando que:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Assim:

21,4 = 1077 θ ¨ + 2 . 154,7 - 0,0575 → θ ¨ = 0,0365   r a d / s 2

Resposta

r ¨ = 12,15   m / s 2

θ ¨ = 0,0365   r a d / s 2

Exercício Resolvido #5

O movimento do bloco deslizando P na ranhura radial rotativa é controlado pelo parafuso como mostrado. Para o instante representado θ ˙ = 0,1   r a d / s , θ ¨ = 0,04   r a d / s 2 e r = 300   m m . Além disso, o parafuso gira a uma velocidade constante fornecendo r ˙ = 40   m m / s . Para este instante, determine os módulos da velocidade v → e da aceleração a → de P . Desenhe v → e a a → para θ = 120 ° .

Passo 1

Temos:

v r = r ˙ = 40 m m / s

E:

v θ = r θ ˙ = 300 0,1 = 30 m m / s

Então:

v = 40 2 + 30 2 = 50 m m / s

Passo 2

E:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0 - 300 0,1 2 = - 3 m m / s 2

E:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 300 0,04 + 2 40 0,1 = 20   m m / s 2

Assim:

a = 3 2 + 20 2 = 20,22   m m / s 2

Resposta

v = 50 m m / s

a = 20,22   m m / s 2

Exercício Resolvido #6

Um motorista que dirige ao longo de um trecho de reta de uma rodovia diminui a velocidade de seu automóvel para uma taxa constante antes de sair da rodovia em direção a uma rampa de saída circular com raio de 168   m . Ele continua a desaceleração com a mesma taxa constante de tal forma que, 10   s   após ter entrado na rampa, sua velocidade escalar diminuiu para 32   k m / h , uma velocidade escalar que ele, então, mantém. Sabendo que a essa velocidade constante a aceleração total do carro é igual a um quarto de seu valor antes de entrar na rampa, determine o valor máximo da aceleração total do carro.

Passo 1

Como temos um trecho circular, vamos usar a abordagem com coordenadas tangenciais e normais. Para isso, vamos usar a expressão:

a → = v ˙ 2 + v 2 ρ 2 = a t 2 + a n 2

Passo 2

Durante toda a frenagem a aceleração tangencial é constante, porque ele diz que o piloto diminui a velocidade com uma taxa constante. Então o valor máximo para a aceleração acontece no ponto onde a componente normal é máxima.

Como a trajetória é circular, o raio de curvatura é constante e igual a R = 168   m . Então, a componente normal será máxima quando v for máximo.

Agora onde isso ocorre? Lembra que estamos freando o carro? Então a velocidade máxima ocorre no ponto inicial, ou seja, imediatamente depois que ele entra na curva!

Resumindo, precisamos descobrir o valor de v ˙ e da velocidade no ponto de entrada da curva!

Passo 3

Depois que ele fica com velocidade constante a gente tem:

a t = v ˙ = 0       →       a → t = 10 = a n = v 2 ρ

Como a trajetória é circular ρ = R = 168   m . Além disso, ele contou que nesse ponto

v = 32   k m / h ≈ 8 , 9   m / s

Logo,

a → t = 10 = 0 , 472   m / s 2

Passo 4

Como o enunciado nos disse:

a → t = 10 = 1 4 a → t = 0       →       a → t = 0 = 1 , 9   m / s 2

Passo 5

Antes dele frear o carro, ele estava num trecho reto. Isso é o mesmo que dizer que ρ = ∞ , ou seja:

a n = 0     →     a → t = 0 = a t = - 1 , 9   m / s 2

O sinal de menos é porque estamos freando! Então, temos que

v ˙ = - 1 , 9       →       v t = - 1 , 9 t + β

Passo 6

Para t = 10 s   , temos que v = 8 , 9   m / s , então:

β = 27 , 9   m / s

Assim,

v t = - 1 , 9 t + 27 , 9

E no início da curva, t = 0 :

v 0 = 27 , 9   m / s

Passo 7

Então, a aceleração máxima ocorre imediatamente depois que ele entra na curva e vale:

a → m á x = v ˙ 2 + v 0 2 R 2

a → m á x = - 1.9 2 + 27.9 2 168 2 = 5   m / s 2

Resposta

a → m á x = 5   m / s 2

Exercícios de Livros Relacionados

Quando o carro chega ao ponto A, ele tem velocidade escalar de 25m / s . Se os freios são acionados, sua velocidade escalar é reduzida em a t = - 1 4 t 1 2m / s 2 . Determine a intensidade da aceleraç
Um carro move-se ao longo de uma curva circular de raio r = 90 m. No instante mostrado, a sua taxa angular de rotação é θ ˙ = 0,4r a d / s , a qual está aumentando a uma taxa de θ ¨ = 0,2r a d / s 2 .
Se o carrinho da montanha-russa parte do repouso em A e sua velocidade escalar aumenta em a t = 6 - 0,06 sm / s 2 , determine a intensidade da sua aceleração quando ela alcança B onde s B = 40m .
O carro está viajando a uma velocidade escalar de 30m / s . O motorista aciona os freios em A e, assim, reduz a velocidade escalar do carro a uma razão de a t = - t / 8m / s 2 , onde t é dado em s . D
2/115) Na parte inferior A da acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo em um plano vertical , o módulo da aceleração total do avião é de 3 g . Se a velocidade do avião em relação ao ar é de