Coordenadas Polares, Tangenciais e Normais

Teoria Completa

Introdução

Imagina que eu quero calcular o módulo da velocidade do carinha aqui embaixo em relação ao chão:

Onde temos que θ t = 0.15 t 2 e r t = 0.9 - 0.12 t 2 , no instante em que t = 1.869 s . Pensando no que a gente viu na teoria passada, a gente poderia tentar escrever o vetor posição, decompondo r como no desenho abaixo

Então como vai ficar o nosso vetor posição?

r → = 0.9 - 0.12 t 2 ⏟ r t cos ⁡ 0.15 t 2 ⏟ cos ⁡ θ t , 0.9 - 0.12 t 2 ⏟ r t s e n   0.15 t 2 ⏟ s e n   θ t

E agora como faz para obter a velocidade? Só derivar esse amigo aí! Pô vai dar um trabalhão isso aí. Será que não tem um jeito mais fácil de fazermos essa conta?

Claro que tem! É para isso que serve o que chamamos de coordenadas polares. Vamos conhecer melhor isso aí!

Coordenadas Polares

Nessas coordenadas a gente cria dois vetores unitários perpendiculares entre si:

  • Um na direção do raio da trajetória e que vamos chamar de e r ^ ;
  • Outro que é tangente à trajetória e que vamos chamar de e θ ^ .

E quando eu sei que tenho que usar coordenadas polares? Dê preferência por usar estas coordenadas quando você tiver:

  • Uma trajetória curvilínea;
  • Um ponto de referência fixo em volta do qual o corpo gira;
  • E quando a questão te der um ângulo θ que o corpo faz com relação à horizontal.

Então, sempre vamos colocar a equação da posição r e a equação do ângulo θ em função das coordenadas polares, assim:

r = r e r ^

θ =   θ e θ ^

Nós aprendemos que a velocidade é a derivada do deslocamento com relação ao tempo. Mas como fazemos para derivar os vetores unitários e r ^ e e θ ^ com relação ao tempo? Vamos ter o seguinte:

d e r ^ d t =   d θ d t e θ ^       o u     d e r ^ d t =   θ ˙ e θ ^

d e θ ^ d t = -   d θ d t e r ^     o u     d e θ ^ d t =   -   θ ˙ e r ^

Lembrando que o pontinho em cima do ângulo θ indica derivada primeira.

Então, a velocidade é:

v → =   d r → d t     →     v → =   d ( r e r ^ ) d t  

v → = r ˙ e r ^ + r θ ˙ e θ ^  

Vamos separar os componentes para visualizarmos melhor:

v r =   r ˙           e           v θ = r θ ˙

Para calcularmos o módulo da velocidade:

v → = r ˙ 2 + r θ ˙ 2  

Vamos ver agora a aceleração. Nós vimos que a aceleração é a derivada da velocidade no tempo. Então, vamos seguir o mesmo raciocínio:

a → =   d v → d t     →     a → =   d ( r ˙ e r ^ + r θ ˙ e θ ^ ) d t

a → = ( r ¨ - r θ ˙ 2 ) e r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) e θ ^

Não esqueça que os dois pontinhos em cima da variável indicam que é derivada segunda.

Para facilitar, vamos separar a aceleração nas suas componentes:

a r =   r ¨ - r θ ˙ 2           e           a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Então, o módulo da aceleração será:

a → = r ¨ - r θ ˙ 2 2 + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ 2

Vamos resolver o exemplo inicial usando coordenadas polares para entendermos melhor.

Primeiro, vamos posicionar nossas coordenadas:

Agora vamos escrever a equação da posição r e a equação do ângulo θ em função das coordenadas polares, assim:

r t = ( 0.9 - 0.12 t 2 ) e r ^

θ t = 0.15 t 2   e θ ^

O que a questão pede é o módulo da velocidade quando t = 1.869 s . Vamos calcular a velocidade então:

v r =   r ˙           e           v θ = r θ ˙

Vamos calcular primeiro r ˙ e θ ˙ que é só derivar as expressões de r e de θ em função do tempo:

r ˙ = - 0.24 t       e       θ ˙ = 0.3 t

Substituindo na expressão da velocidade:

v r =   r ˙       →         v r = - 0.24 t  

v θ = r θ ˙       →         v θ = ( 0.9 - 0.12 t 2 ) ( 0.3 t )

Como ele quer no tempo t = 1.869 s , vamos ter:

v r =   - 0.449

v θ = 0.270

Vamos calcular o módulo agora:

v → = r ˙ 2 + r θ ˙ 2

v → = - 0.449 2 + 0.270 2 = 0.524

Show! Ficou bem mais fácil! Então, quando você tiver problemas em que for fácil escrever a distância entre o seu objeto e algo fixo e o ângulo dessa distância, a boa é usar coordenadas polares.

Agora vamos ver outro tipo de coordenada muito utilizada.

Coordenadas Tangenciais e Normais

Nessas coordenadas, os nossos vetores unitários perpendiculares entre si vão ser:

  • Um normal à trajetória cujo sentido positivo vai ser sempre apontando para o centro da curva e que vamos chamar de   e ^ n ;
  • Outro tangente à trajetória cujo sentido positivo aponta para o sentido de crescimento do deslocamento e que vamos chamar de e t ^ .
  • Vamos chamar o raio da curvatura de ρ .

    Repare que esse sistema de coordenadas não é fixo, ele tem sua origem no corpo que está se movendo e vai andando junto com o corpo.

    E quando vou usar as coordenadas tangenciais e normais? Dê preferência por usar estas coordenadas:

  • Quando não tiver um ponto de referência fixo;
  • Quando não tiver um ângulo com relação à horizontal;
  • Quando conhecemos toda a trajetória, por exemplo se for um círculo.

Agora vamos utilizar essa nova coordenada para descrever a velocidade. Sabemos que a velocidade é sempre tangente à trajetória, então a velocidade vai ser sempre na nossa direção tangencial:

v → = v e t ^

Onde, o módulo da velocidade é:

v =   d r d t

E a aceleração? Sabemos que é só derivar a velocidade em função do tempo. Mas como fica a derivada do vetor unitário e t ^ ? Fica assim:

d e t ^ d t =   v ρ   e ^ n

Então, a aceleração vai ser:

a → =   d v → d t     →     a → =   d v d t e ^ t + v d e t ^ d t  

a → =   d v d t e ^ t +   v v ρ   e ^ n

Podemos escrever:

a → =   v ˙ e ^ t + v 2 ρ e ^ n

Com isso, dizemos que a aceleração tem uma componente tangencial e outra normal.

A gente aprendeu no ensino médio que a aceleração que muda a velocidade, certo? Então um objeto que se move com velocidade constante tem aceleração zero, né? Errado!

Olha ali na expressão da aceleração: se o módulo da velocidade é constante, a gente vai ter que:

v ˙ = 0

Ou seja, não tem componente tangencial da aceleração. Mas, se o corpo estiver fazendo uma curva, essa trajetória tem um raio ρ ≠ 0 ! Então eu vou ter componente normal da aceleração! Ou seja, cada componente da aceleração vai ter uma função:

  • Componente tangencial muda o módulo da velocidade e é sempre tangente à trajetória. Vamos chamar esta componente de aceleração tangencial e seu módulo é:
  • a t = v ˙    

  • Componente normal muda direção e o sentido da velocidade e sempre aponta para o centro da trajetória. Vamos chamar esta componente de aceleração centrípeta e seu módulo é:

a n = v 2 ρ

O módulo do vetor aceleração é:

a → = v ˙ 2 + v 2 ρ 2

Um corpo com velocidade constante não tem aceleração tangencial, mas todo corpo que esteja fazendo um movimento curvo vai sempre ter aceleração centrípeta.

O sistema de coordenadas tangenciais e normais é muito usado para descobrir o raio de curvatura, ρ , da trajetória. Em outros casos, os exercícios pedem para calcular a aceleração do corpo. Mas isso não é regra, é só uma dica.

Beleza! Agora vamos praticar para pegar o jeito da coisa!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 45, 2/101

Um carro de teste parte do repouso em uma pista horizontal circular de 80   m de raio e aumenta sua velocidade a uma taxa uniforma para atingir os 100   k m / h em 10 segundos. Determine o módulo a da aceleração total do carro 8 segundos após a partida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos primeiro calcular a aceleração média do carro. Podemos fazer isso da seguinte forma:

a m = ∆ V ∆ t

Perceba que a velocidade está em k m / h . Vamos dividir por 3,6 para passar para m / s :

∆ V = 100   k m / h = 100 3,6 = 27,8   m / s

Assim:

a m = 27,8 10 = 2,78   m / s 2

Assim, a velocidade tangencial em função do tempo pode ser dada por:

v t t = 2,78 t

Passo 2

Beleza, então a velocidade para o tempo t = 8   s :

v 8 = 2,78 . 8 = 22,2   m / s

Assim, podemos calcular a aceleração centrípeta:

a c t p = V 2 R = 22 2 80 = 6,17   m / s 2

Passo 3

Assim, a aceleração total é dada por:

a → = a = 6,17 2 + 2,78 2 = 6,77   m / s 2

Resposta

a = 6,77   m / s 2

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 43, 2/115

Na parte inferior A da acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo em um plano vertical, o módulo da aceleração total do avião é de 3 g . Se a velocidade do avião em relação ao ar é de 800   k m / h e está aumentando na taxa de 20   k m / h por segundo, calcule o raio de curvatura ρ da trajetória em A .