Lançamento Vertical

Teoria Completa

O lançamento vertical é quando temos um movimento na vertical.

Beleza, isso sabemos pelo nome, mas e daí?

O movimento ser na vertical significa que a sua aceleração é a gravidade, que é constante, já conhecida por todos nós.

A gravidade sempre puxa um objeto para baixo, para evitarmos uma confusão de sinais iremos SEMPRE nos orientar para cima, ou seja, tudo que está “apontadopara cima é positivo e tudo que está “apontadopara baixo é negativo.

Além disso, em muitos casos, iremos considerar o chão como sendo a posição zero, veremos mais a frente como isso influencia para resolver os problemas.

Como temos uma aceleração constante, o lançamento vertical, nada mais é que um Movimento Retilínio Uniformemente Variado, com aceleração sendo a gravidade.

Existem 3 tipos de lançamento vertical:

  • Queda Livre :É o caso que a velocidade inicial V 0 é igual a zero.
  • Lançamento para cima: É o caso que a velocidade inicial é para cima, ou seja, ela é POSITIVA.
  • Lançamento para baixo: É o caso que a velocidade inicial é para baixo, ou seja, ela é NEGATIVA.

Para resolvermos qualquer problema de lançamento vertical, devemos primeiro identificar qual tipo ele é. E depois basta resolver como se resolve os problemas de M.R.U.V.

Vamos ver um exemplo de lançamento para entender melhor como ele funciona.

  1. Uma bolinha é largada de uma altura de 20   m . Em quanto tempo ela irá atingir o chão?

A bolinha que foi “abandonada” de uma certa altura, a velocidade inicial então vai ser zero.

Isso quer dizer que ela está em queda livre.

Além disso, como a altura que ela é “abandonada” é 20   m , sabemos sua posição inicial.

Os dados do problema são

Dados V 0 = 0   m / s a = - g = - 9,8   m / s 2 S 0 = 20   m

Lembra que tudo que aponta para baixo é negativo? Então, a gravidade aponta para baixo certo? Ou seja, ela é negativa.

O problema pede o tempo que a bolinha vai atingir o chão. Atingir o chão quer dizer que a posição da bolinha no momento que ela chega no chão é zero.

Como ele quer o tempo e temos a posição, vamos usar a equação da posição pelo tempo.

S = S 0 + V 0   t + a   t 2 2

Substituindo os valores que sabemos,

0 = 20 + 0 ∙ t + - 9,8 ∙ t 2 2

0 = 20 - 4,9 t 2

t 2 = 20 4,9

t = 4,08 = 2,02   s

A bolinha demora 2,02   s para chegar ao solo.

Características do Lançamento para Cima

Quando alguém lança um objeto verticalmente para cima com uma velocidade inicial v 0 , esse objeto vai subir até uma certa altura h , parar e então começar a descer.

A altura máxima atingida por esse objeto é quando ele ra v = 0   para começar a descer, então o h m á x será a posição no instante que a velocidade for zero, resolvendo um sisteminha de equações descobrimos que:

h m á x = S 0 +   v 0 2 2 g

Outro detalhe importante é que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então se um objeto gastou t   s e g u n d o s para subir até a altura h , sabemos que ele vai gastar t   s e g u n d o s de h   até a posição inicial na qual ele foi lançado.

Vamos agora partir para os exercícios para dominar bem essa matéria!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 36 - Modificado

Um tijolo é largado (velocidade inicial nula) do alto de um edifício. Ele atinge o solo em 2,50   s . A resistência do ar pode ser desprezada, de modo que o tijolo está em queda livre. a) qual é a altura do edifício? b) qual o módulo da velocidade quando ele atinge o solo?

Dado: g = 9,8 m / s 2

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Passo 1

O movimento da queda do tijolo, como foi dito no enunciado é queda livre, podemos tirar do enunciado os seguintes dados,

D a d o s S = 0   m t q u e d a = 2,5   s V 0 = 0   m / s a = - g = - 9,8   m / s 2

Estamos considerando que o espaço inicial ( S 0 ) é a altura H em que ele estava antes do movimento de queda livre e que ele vai atingir o solo no espaço final, por isso S = 0   m .

Passo 2

a   Como o sentido positivo é para cima (sentido que sempre adotaremos no lançamento vertical), e ele é solto do alto do edifício podemos considerar que durante o movimento de queda ele vai “perder espaço” até alcançar o solo, por isso consideramos sua aceleração da gravidade como negativa.

Ele deu o tempo e queremos a posição inicial, então vamos usar a equação da posição pelo tempo

S = S 0 + V 0 t + a t 2 2

0 = S 0 + 0 + - 9,8 2,5 2 2

S 0 = 30,625   m

H = S 0 = 30,625   m

Passo 3

  b     Agora ele quer a velocidade quando chega no chão, então vamos usar a equação da velocidade pelo tempo. Aqui também vamos considerar a gravidade negativa, porque aponta no sentido contrário do eixo vertical.

V = V 0   + a t

V = 0 + — 9,8 2,5

V = - 24,5   m / s

Como ele pede o módulo consideramos a velocidade sem o sinal.

V = 24,5   m / s

Obs: O sinal negativo mostra o sentido para baixo.

Resposta

a   H = 30,625   m

b   V = 24,5   m / s

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 40-99

Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H . A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro do tempo no ar?

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Passo 1

É um problema de lançamento vertical. Podemos considerar que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então se considerarmos que a bola gasta t segundos para chegar até a altura H , podemos dizer que para subir e descer   t + t segundos, 2 t   certo?

O problema quer saber qual a altura para que o tempo de vôo seja o dobro, ou seja, 2 ⋅ 2 t = 4 t . Com um tempo total de 4 t , teríamos 2 t de subida e 2 t de descida.

Mas como sabemos estamos tratando de um movimento vertical, ou seja, o objeto primeiramente realiza um movimento de subida e em seguida muda o sentido do seu movimento e inicia o movimento de descida.

Passo 2

Temos duas opções: analisar o movimento de subida ou o de descida. Qual vamos escolher?

Ambos movimentos são uniformemente variado, sofrem a ação da aceleração da gravidade e podem ser analisados a partir da seguinte equação:

S = S 0 + v 0 t - g . t 2 2  

Onde a gravidade é negativa porque ela aponta no sentio contrário da orientação do nosso eixo vertical.

Sabemos que no ponto mais alto de sua trajetória, no instante em que ela está mudando de sentido, a bola fica momentânemente com uma velocidade v = 0 . Então se escolhermos o movimento de descida, podemos considerar que a v 0 = 0 e assim simplificamos nossa equação eliminando o termo do meio do lado direito:

S = S 0 - g ⋅ t 2 2

Passo 3

Agora nosso objetivo é fazer uma comparação. Vamos comparar H e H ' , a altura H relativa ao tempo de descida t , e a altura H '   relacionada com o tempo de descida 2 t .

Analisando H através de nossa equação:

-Podemos considerar que S 0 = H , porque a bola inicia seu movimento de descida logo após de inverter o sentido do movimento no ponto mais alto da sua trajetória

-Podemos considerar que S = 0 , porque quando ela chegar ao final do movimento de descida, ela vai estar na posição inicial do lançamento vertical, com altura nula.

-Consideraremos o tempo de descida como sendo t .

Então:

0 = H + 0 . t - g . t 2 2

Isolando o t :

t = 2 H g  

Passo 4

Analisando H ' com nossa equação, e levando em conta os mesmo argumentos anteriores:

-Podemos considerar S o = H '

-Podemos considerar S = 0

-Consideraremos o tempo de descida 2 t .

0 = H ' + 0 . t - g . ( 2 t ) 2 2

0 = H ' + 0 . t - g . 4 t 2 2

0 = H ' + 0 . t - 2 g . t 2

Isolando t :

t = H ' 2 g

Passo 5

Agora vamos comparar:

t t = 2 H g H ' 2 g

Elevando ambos os lados ao quadrado:

t 2 t 2 = 2 H g H ' 2 g

Cortando t 2 e g .

1 1 = 2 H H ' 2

Multiplicando em X:

H ' 2 = 2 H

Multiplicando por 2 em ambos os lados:

H ' = 4 H

Assim, temos que a altura H ' que a bola deve ser lançada para passar o dobro de tempo em vôo deve ser   4 vezes a altura H .

Resposta

H ' = 4 H

Exercício Resolvido #3

PUC 2008

Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, e atinge uma altura máxima de 20 m. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s², a velocidade inicial de lançamento e o tempo de subida da bola são:

a) 10 m/s e 1s

b) 20 m/s e 2s

c) 30 m/s e 3s

d) 40 m/s e 4s

e) 50 m/s e 5s

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Passo 1

Como a altura máxima da bola é de 20m e a gente sabe que na altura máxima a velocidade da bola é 0, temos que:

V 2 = v 0 2 - 2 g ∆ H   →   0 = v 0 2 - 2.10.20  

v 0 2 = 400   → v 0 = 20 m / s

Show!

Passo 2

Agora que temos a velocidade inicial da bola fica fácil calcularmos o tempo de subida, né? É só lembrar de novo que a velocidade na altura máxima é 0! Então, temos:

V = v 0 - g t   → 0 = 20 - 10 t

10 t = 20 → t = 2 s

Lindooooo!

Resposta

b) 20 m/s e 2s

Exercício Resolvido #4

BrasilEscola

Um móvel é atirado verticalmente para cima a partir do solo, com velocidade de 72 km/h. Determine:

a) as funções horárias do movimento;b) o tempo de subida;c) a altura máxima atingida;d) em t = 3 s, a altura e o sentido do movimento;e) o instante e a velocidade quando o móvel atinge o solo.

Obs.: Adote g = 10m/s²

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Passo 1

Bom, vamo nessa! Temos um movimento uniforme variado devido a presença da aceleração da gravidade, certo? Então nossa função horária do espaço é dada por:

S = s 0 + v 0 t + a t 2 2

E a função horária da velocidade:

V = v 0 + a t

Como temos a velocidade inicial (20m/s) e a gravidade (10m/s²) que é contrária ao movimento (então o sinal é negativo), é só substituir!

S = s 0 + v 0 t - g t 2 2   → S = 20 t - 10 t 2 2 → S = 20 t - 5 t 2

V = v 0 - g t   → V = 20 - 10 t

Show!

Passo 2

Na letra b a gente quer saber o tempo de subida, e pra gente calcular isso é só a gente lembrar que na altura máxima a velocidade é 0! Então é só usarmos a função da velocidade que achamos na letra A, assim ó:

V a l t u r a   m á x i m a = 20 - 10 t

0 = 20 - 10 t   → t = 20 10 = 2 s

Lindu dimai!

Passo 3

Bom, e pra gente descobrir a altura máxima? A gente tem o tempo que o móvel chegou a altura máxima e temos a equação do espaço! É só jogar na fórmulinha, né? Bó lá!

S m a x = 20 t - 5 t 2

S m a x = 20 . 2 - 5 . 2 2 → S = 40 - 20 = 20 m

Bouaaaaa!

Passo 4

Pra gente descobrir a altura no tempo de 3 segundos... É só substituir na fórmula que nem fizemos com o 2! Bora lá:

S = 20 t - 5 t 2

S = 20 . 3 - 5 . 3 2 → S = 60 - 45 = 15 m

E o sentido do movimento vai ser pra baixo, certo? Porque como a altura máxima é no tempo de 2, quando a partícula chega nesse tempo ela retorna o movimento, né?

Então fechouuu!

Passo 5

 O tempo de descida é igual ao tempo de subida, lembra? Então o móvel irá atingir o solo novamente depois de 4s, que é 2s de subida e 2s de descida! :D

A velocidado com que o móvel retorna ao solo é a mesma com que ele foi lançado, assim V = 72 km/h.

Resposta

a)   S = 20 t - 5 t 2 e V = 20 - 10 t

b) 2s

c) 20m

d) 15m

e) 4s e 72km/h

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 37-54

A figura mostra a velocidade v   em função da altura y para uma bola lançada verticalmente para cima ao longo de um eixo y . A distância d é de 0,40   m . A velocidade na altura y A   é v A . A velocidade na altura y B é v A / 3 . Determine a velocidade v A .

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Passo 1

O problema trata de uma bola lançada para cima, como o tempo não foi dado nem pedido, vamos estudar o movimento usando a equação de torricelli, assim temos

v A 2 9 = v A 2 - 2 . g . d

Onde v f = v A 3 ,   v 0 = v A