Equilíbrio em duas Dimensões

Teoria Completa

Introdução

Agora vamos falar sobre algo chamado Equilíbrio... Mas para que serve isso?

Imagine uma tábua que pode girar com relação a um pino posicionado na metade do seu comprimento. Aí você resolve colocar um bloco de 10   k g em uma das extremidades dessa tábua. O que irá acontecer com ela?

Ela vai cair para o lado mais pesado, certo? Isso acontece porque na sua outra extremidade não tem nada para compensar o peso do bloquinho que colocamos.

Agora você quer que está tábua fique em equilíbrio... O que é preciso fazer? Colocar um bloco de mesmo peso na outra extremidade, certo?

Mas e seu eu mudar o apoio de lugar:

Qual é a nova massa que o bloquinho rosa deve ter para que a tábua não gire em torno do pino?

Calma! É isso que vamos aprender neste tópico, partiu?

O Diagrama de Corpo Livre

O primeiro passo para resolver qualquer questão de equilíbrio é fazer o diagrama de corpo livre, também conhecido por DCL. Mas como faço esta coisa? É só você olhar para o seu problema e isolar o corpo principal, aquele que está sofrendo a ação de várias forças. O diagrama deve mostrar todas as forças que atuam no corpo.

Vamos montar o diagrama de corpo livre da nossa tábua lá de cima. Primeiro temos que identificar qual é o corpo principal: neste nosso caso é a própria tábua, ela que está sofrendo a ação das forças peso dos bloquinhos:

Repare que os bloquinhos foram retirados e no seu lugar foi colocada a força que cada um deles faz na tábua, essas forças são o próprio peso dos bloquinhos.

Mas eu não disse que tem que representar apenas o corpo principal do problema e retirar todos os outros? E o que esse apoio está fazendo ali? Calma, temos que retirar ele também e colocar no lugar a força que o apoio faz na tábua:

Repare que cada elemento que você retirar do problema você tem que substituir por uma for��a. Mas em que posição do corpo eu coloco a força?

O centro de massa ( C ou C M ) é o ponto de um corpo que, para fins de cálculo, pode ser considerado como aquele que contêm toda a massa do corpo, por isso, podemos representar as forças no centro de massa das figuras.

Observação: você pode encontrar por aí a definição centro de gravidade. Geralmente em cursos de Mecânica Básica, como aqui, os dois pontos são o mesmos: C G = C M .

Então, podemos entender o diagrama de corpo livre como uma maneira de limpar o nosso desenho e enxergarmos o que está acontecendo no corpo principal.

Tipos de Apoios e suas Reações

O apoio é o que sustenta a estrutura e a impede de se movimentar em certas direções. Toda vez que você impede uma estrutura de se movimentar em uma direção surge o que chamamos de reação de apoio. Existem vários tipos de apoios e para cada um vai surgir alguma reação de acordo com a direção em há o impedimento de movimento. Vamos ver os principais:

  • Apoio Deslizante: permite que a estrutura se mova na direção em que o carrinho rola, mas impede o movimento na outra direç��o:
  • Essas são as formas possíveis que esse apoio pode aparecer para você, todas essas imagens representam a mesma coisa!!!

    Repare que esse apoio permite o movimento na horizontal, mas impede o movimento na vertical. Então, a reação de apoio vai estar na direção em que há impedimento do movimento. Dessa forma, para montar o diagrama de corpo livre é só retirar o apoio e colocar a reação vertical:

    E se o apoio estiver assim na vertical?

    Neste caso, o apoio permite que a barra se mova na vertical, mas impede que ela se mova na horizontal. Então, o diagrama de corpo livre fica assim:

    Fica ligado nisso aí!!!

  • Pinos: esses apoios impedem que a estrutura se mova tanto na vertical quanto na horizontal, mas permitem que ela gire em torno dele:
  • Como esses apoios impedem o movimento nas duas direções, o diagrama de corpo livre fica:

  • Apoio fixo ou engaste: este apoio impede o movimento nas direções horizontal e na vertical e também impede que a barra gire em torno dele:

As reações de apoios surgem devido ao impedimento do movimento, então o diagrama de corpo livre fica:

Esse momento M → surge devido ao apoio impedir que a estrutura gire.

Condições de Equilíbrio

Uma estrutura está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças horizontais (aquelas que estão no eixo x ) deve ser nula:

∑ F → x = 0 →

E a resultante de todas as forças verticais (aquelas que estão no eixo y ) deve ser nula também:

∑ F → y = 0 →

E o somatório dos momentos de todas as forças em relação a qualquer ponto sobre o corpo ou fora dele deve ser nulo também:

∑ M → = 0 →

Tipos de Equilíbrio

Vamos ver agora algumas situações gerais de equilíbrio. Para cada uma dessas situações, existirão condições específicas que precisarão ser atendidas para que haja o equilíbrio.

  • Forças Colineares:
  • Esse é o caso de um fio, por exemplo, onde a tensão equilibra o peso de um bloco:

    Nesse caso, só uma condição de equilíbrio precisa ser satisfeita, pois só têm forças em uma das direções:

    ∑ F → x = 0 →

    Ou:

    ∑ F → y = 0 →

  • Forças concorrentes em um ponto: quando todas as forças passam por um ponto em comum ou quando a linha de ação da força passa por este ponto.
  • Nesse caso, para que o corpo fique em equilíbrio, duas condições precisam ser satisfeitas:

    ∑ F → x = 0 →

    E:

    ∑ F → y = 0 →

    Observe que ainda não precisamos analisar os momentos, já que todas as forças cruzam com o ponto de referência, de modo que não há braço de alavanca com relação a esse ponto.

    Beleza, mas como vou calcular isso?

    Decompondo as forças:

    Dai é só somar as componentes de cada força da direção x e da direção y .

  • Forças Paralelas
  • Nesse caso, temos que satisfazer a condição do somatório das forças ser zero:

    ∑ F → = 0 →

    E agora entram no jogo os momentos também:

    ∑ M → O = 0 →

    Por quê? Observe que as forças não cruzam o ponto O . Sendo assim, elas exercem momento em relação a esse ponto.

    Observação: Perceba que o vetor momento será perpendicular à página, já que estamos lidando com um caso 2 D . Por isso escrevemos M → z .

  • Caso Geral

No caso geral, você terá que analisar as forças nas duas direções principais, assim como o somatório de momentos:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

∑ M → O = 0 →

Show de bola?

Vamos fazer uns exercícios para treinar e pegar o jeito!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 96,3/5

O suporte deslizante é usado para apoiar partes de chapas longas enquanto elas são cortadas por uma série de bancadas. Se a chapa exerce uma força direcionada para baixo de 25   N no rolete C , determine as ações verticais em A   e   D . Note que a conexão em B é rígida e que os pés A   e   D são tubos horizontais razoavelmente longos, com recobrimentos deslizantes.

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Passo 1

O sistema de forças é dado abaixo:

Passo 2

Temos que satisfazer a duas condições:

∑ M → = 0  

E:

  ∑ F → = 0

Para o caso dos momentos, vamos escolher o ponto A , assim não precisamos trabalhar com R → A de cara, pois esta força não tem braço de alavanca com relação ao ponto A .

Perceba que a distância da força de 25   N até A vale 235   m m e a distância da força R → D vale 355   m m .

Adotando o sentido anti-horário como positivo, vamos ter que :

R D . 355 - 25 . 235 = 0         →       R D = 16,55   N

Passo 3

Show de bola!

Agora, para achar R → A vamos calcular momentos de novo?

Não!!! Vamos fazer uma coisa mais simples usando a outra condição:

∑ F → = 0     →       R A + R D - 25 = 0

R A + 16,55 - 25 = 0     →       R A = 8,45   N

Resposta

R A = 8,45   N

R D = 16,55   N

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/22

O centro de massa G do carro de motor traseiro e com 1400   k g está localizado como mostrado na figura. Determine a força normal sob cada pneu quando o carro está em equilíbrio. Descreva qualquer hipótese feita.

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Passo 1

O sistema acima pode ser desenhado assim:

Onde, P → é a força peso, N → f é a força normal na roda da frente e N → t é a força normal na roda de trás.

Mas por que colocamos 2 N f e   2 N t ? Porque o carro tem quatro rodas e cada roda tem a sua força normal. Então, admitimos que o carro é simétrico e que a outra metade dele vai ter a mesma configuração de forças.

Passo 2

O carro possui 1400   k g , então o módulo da força peso será:

P = 1400 9,81     →           P = 13734   N

Agora vamos fazer o equilíbrio dessas forças:

∑ F → y = 0       →       2 N f + 2 N t - 13734 = 0

2 N f + 2 N t = 13734

Precisamos de outra equação para resolver o problema. Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A indicado na figura abaixo: