Equilíbrio em duas Dimensões
Teoria
Introdução
Agora vamos falar sobre algo chamado Equilíbrio... Mas para que serve isso?
Imagine uma tábua de peso desprezível que pode girar com relação a um pino posicionado na metade do seu comprimento. Aí você resolve colocar um bloco de em uma das extremidades dessa tábua. O que irá acontecer com ela?
Ela vai cair para o lado mais pesado, certo? Isso acontece porque na sua outra extremidade não tem nada para compensar o peso do bloquinho que colocamos.
Agora você quer que está tábua fique em equilíbrio... O que é preciso fazer? Colocar um bloco de mesmo peso na outra extremidade, certo?
Mas e seu eu mudar o apoio de lugar:
Qual é a nova massa que o bloquinho rosa deve ter para que a tábua não gire em torno do pino?
Calma! É isso que vamos aprender neste tópico, partiu?
O Diagrama de Corpo Livre
O primeiro passo para resolver qualquer questão de equilíbrio é fazer o diagrama de corpo livre, também conhecido por DCL. Mas como faço esta coisa? É só você olhar para o seu problema e isolar o corpo principal, aquele que está sofrendo a ação de várias forças. O diagrama deve mostrar todas as forças que atuam no corpo.
Vamos montar o diagrama de corpo livre da nossa tábua lá de cima. Primeiro temos que identificar qual é o corpo principal: neste nosso caso é a própria tábua, ela que está sofrendo a ação das forças peso dos bloquinhos:
Repare que os bloquinhos foram retirados e no seu lugar foi colocada a força que cada um deles faz na tábua, essas forças são o próprio peso dos bloquinhos.
Mas eu não disse que tem que representar apenas o corpo principal do problema e retirar todos os outros? E o que esse apoio está fazendo ali? Calma, temos que retirar ele também e colocar no lugar a força que o apoio faz na tábua:
Repare que cada elemento que você retirar do problema você tem que substituir por uma força. Mas em que posição do corpo eu coloco a força?
O centro de massa ( ou ) é o ponto de um corpo que, para fins de cálculo, pode ser considerado como aquele que contêm toda a massa do corpo, por isso, podemos representar as forças no centro de massa das figuras.
Observação: você pode encontrar por aí a definição centro de gravidade. Geralmente em cursos de Mecânica Básica, como aqui, os dois pontos são o mesmos:
Percebam que as forças peso atuam co centro de gravidade dos nossos bloquinhos.
Então, podemos entender o diagrama de corpo livre como uma maneira de limpar o nosso desenho e enxergarmos o que está acontecendo no corpo principal.
Tipos de Apoios e suas Reações
O apoio é o que sustenta a estrutura e a impede de se movimentar em certas direções. Toda vez que você impede uma estrutura de se movimentar em uma direção surge o que chamamos de reação de apoio. Existem vários tipos de apoios e para cada um vai surgir alguma reação de acordo com a direção em há o impedimento de movimento. Vamos ver os principais:
- Apoio Deslizante: permite que a estrutura se mova na direção em que o carrinho rola, mas impede o movimento na outra direção:
- Pinos: esses apoios impedem que a estrutura se mova tanto na vertical quanto na horizontal, mas permitem que ela gire em torno dele:
- Apoio fixo ou engaste: este apoio impede o movimento nas direções horizontal e na vertical e também impede que a barra gire em torno dele:
Essas são as formas possíveis que esse apoio pode aparecer para você, todas essas imagens representam a mesma coisa!!!
Além disso, repare que no nosso exemplo temos esse mesmo tipo de apoio!
Repare que esse apoio permite o movimento na horizontal, mas impede o movimento na vertical. Então, a reação de apoio vai estar na direção em que há impedimento do movimento. Dessa forma, para montar o diagrama de corpo livre é só retirar o apoio e colocar a reação vertical:
E se o apoio estiver assim na vertical?
Neste caso, o apoio permite que a barra se mova na vertical, mas impede que ela se mova na horizontal. Então, o diagrama de corpo livre fica assim:
Fica ligado nisso aí!!!
Como esses apoios impedem o movimento nas duas direções, o diagrama de corpo livre fica:
As reações de apoios surgem devido ao impedimento do movimento, então o diagrama de corpo livre fica:
Esse momento surge devido ao apoio impedir que a estrutura gire.
Condições de Equilíbrio
Uma estrutura está em equilíbrio estático quando a resultante de todas as forças horizontais, verticais e dos momentos são nulas:
Isso acontece porque não podemos ter nenhuma aceleração que promova movimentos de translação ou rotação.
Aqui repare que podemos utilizar a equação do momento para resolver o problema proposto lá do início. Vamos fazer isso aplicando o somatório dos momentos em relação a um certo ponto:
Lembre-se que
Então temos e queremos achar . Logo, faz sentido colocar o ponto de aplicação do momento exatamente no ponto de apoio:
Por que isso faz sentido? Porque a força não irá gerar momento com relação a esse ponto, o que é bom já que não sabemos o valor de . Dessa forma vamos ter:
Vamos considerar o sentido anti-horário positivo:
Substituindo os valores de e :
Resolvemos o nosso problema!
Vamos fazer uns exercícios para treinar e pegar o jeito!!!
Tipos de Apoios e suas Reações
Condições de Equilíbrio
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 96,3/5
O suporte deslizante é usado para apoiar partes de chapas longas enquanto elas são cortadas por uma série de bancadas. Se a chapa exerce uma força direcionada para baixo de no rolete , determine as ações verticais em e Note que a conexão em é rígida e que os pés e são tubos horizontais razoavelmente longos, com recobrimentos deslizantes.
Passo 1
Fala aí, pessoal!! Vamos entender primeiro o que está acontecendo nessa situação aqui. O suporte deslizante descrito no problema é o próprio conjunto , que desliza no ponto através de um rolete.
Como as barras e são “razoavelmente longas” podemos aproximar as reações em e para forças verticais, como sugerido no enunciado.
Sabendo disso podemos fazer o sistema de forças, que é dado abaixo:
Passo 2
Temos que satisfazer a duas condições:
E:
Para o caso dos momentos, vamos escolher o ponto , assim não precisamos trabalhar com de cara, pois esta força não tem braço de alavanca com relação ao ponto .
Perceba que a distância da força de até vale e a distância da força vale
Adotando o sentido anti-horário como positivo, vamos ter que
Passo 3
Show de bola!
Agora, para achar vamos calcular momentos de novo?
Não!!! Vamos fazer uma coisa mais simples usando a outra condição:
Substituindo o valor de :
Resposta
Exercício Resolvido #2
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/22
O centro de massa do carro de motor traseiro e com está localizado como mostrado na figura. Determine a força normal sob cada pneu quando o carro está em equilíbrio. Descreva qualquer hipótese feita.
Passo 1
O sistema acima pode ser desenhado assim:
Onde, é a força peso, é a força normal na roda da frente e é a força normal na roda de trás.
Mas por que colocamos e Porque o carro tem quatro rodas e cada roda tem a sua força normal. Então, admitimos que o carro é simétrico e que a outra metade dele vai ter a mesma configuração de forças.
Passo 2
O carro possui , então o módulo da força peso será:
Agora vamos fazer o equilíbrio dessas forças:
Precisamos de outra equação para resolver o problema. Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto indicado na figura abaixo:
O equilíbrio de momentos em relação ao ponto nos dá:
Voltando para a equação do equilíbrio das forças, podemos substituir o valor de que achamos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 96,3/6
A viga em uniforme e com sustenta a carga mostrada. Determine as reações nos apoios.
Passo 1
Nesse caso, temos que satisfazer a duas condições:
Perceba que a soma das forças horizontais tem que ser nula, já que a viga está presa:
E as forças têm a seguinte orientação:
Certo? Não, faltou o peso da própria barra:
Passo 2
Vamos primeiro fazer o somatório de momentos usando o ponto como referência e considerando o sentido anti-horário como positivo:
Sendo que os pesos são:
Substituindo isso na nossa equação, vamos ter que:
Passo 3
Agora vamos para a segunda condição:
Resposta
Exercício Resolvido #4
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 120,3/97
Calcule o módulo da força suportada pelo pino em no dispositivo em curva, carregado e apoiado como mostrado.
Passo 1
Aqui vamos ter que atender a três condições:
Passo 2
A forças de reação em e tem uma forma dada por:
Perceba que a componente da reação em é nula. Isso se deve ao fato de que o apoio em é um apoio deslizante, ou seja, não há o impedimento desse apoio de se mover na horizontal. E não se esqueça: só colocamos reação de apoio na direção onde há impedimento do movimento.
Sendo assim, já descobrimos quanto vale
Passo 3
Agora vamos fazer o seguinte: calcular o equilíbrio de momentos em relação ao ponto
Vamos considerar o sentido anti-horário como o positivo:
Não pode esquecer de contabilizar o momento de que já tinha na estrutura.
Então, obtemos o seguinte:
Passo 4
Agora, usando o somatório de forças verticais:
Passo 5
Sendo assim, o módulo de será:
Resposta
Exercício Resolvido #5
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/7
Calcule as forças e o momento de reação na base aparafusada da estrutura de sinal de trânsito suspenso. Cada sinal tem uma massa de , enquanto que as massas dos elementos e são e , respectivamente.
Passo 1
O diagrama de corpo livre pode ser representado por:
Passo 2
Vamos calcular as forças peso que estão no diagrama:
E vetorialmente, temos que a força peso do sinal aponta para baixo, então:
A força peso da barra é:
E o vetor é:
E por último o peso da barra :
Transformando em vetor temos:
Passo 3
Agora vamos achar as reações de apoio. Perceba que o apoio é um engaste, pois a estrutura não pode se movimentar em nenhuma direção e nem girar. Inclusive foi dito no enunciado que a base é aparafusada.
Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto e considerando o sentido de giro anti-horário como positivo, temos:
Repare que a força não tem braço de alavanca com relação ao ponto . Então, vamos substituir os valores:
Esse momento é positivo, ou seja, ele gira no sentido horário.
Passo 4
Perceba que não há forças horizontais além da reação de apoio , então:
Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:
Resposta
Exercício Resolvido #6
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 96,3/1
Determine a força necessária para manter o motor de na posição para a qual . O diâmetro em é desprezível.
Passo 1
Se você reparar bem vai ver que esse é o caso em que as forças são concorrentes em um ponto só, ou seja, a linha de ação das forças passa por um dos ponto do desenho?
Você consegue identificar este ponto? É o ponto , dê uma olhadinha aqui:
Esse é o nosso diagrama de corpo livre.
Perceba que, por se tratar de uma corda, a força pode ser representada ao longo de toda esta corda. Então, o que fizemos aqui foi transmitir a força e representá-la na direção .
Passo 2
Vamos usar um pouquinho de geometria agora: Perceba que esse é um triângulo que possui dois lados iguais. Assim, ele terá também dois ângulos iguais.
Perceba também que um dos três ângulos do triângulo vale . Sabendo que a soma dos ângulos dá , podemos escrever assim:
Assim:
Passo 3
Então, colocando esses ângulos no nosso diagrama de corpo livre, temos isso aqui:
Agora, temos que decompor todas as forças nos eixos e para podermos fazer as somas dos vetores. Mas repare que temos que descobrir mais alguns ângulos para poder decompor esses vetores:
Repare que somando os ângulos e com obtemos :
Mas... Como vamos resolver essa equação se ela tem duas incógnitas? Temos que achar mais um ângulo antes. Para isso, vamos usar este triângulo aqui:
Vamos isolar esse triângulo que queremos para entendermos melhor o que precisamos fazer:
A soma de todos os ângulos internos de um triângulo deve dar , então:
Passo 4
Agora já conseguimos achar o ângulo :
Repare que os eixos e são perpendiculares entre si, então:
Beleza?
Agora vamos resgatar aquela equação que não conseguimos resolver:
Passo 5
Pronto! Achamos todos os ângulos que eram necessários:
Então, vamos calcular o valor do módulo da força que é nada mais nada menos que o peso do motor:
Escrevendo esta força como um vetor, temos:
Agora vamos decompor a força e a força nos eixos e :
E a força fica assim:
Passo 6
Vamos fazer agora o equilíbrio destas forças. Sabemos que a soma de todas as forças horizontais deve ser zero, então:
Vamos isolar a força para substituir na próxima equação:
Beleza?
Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:
Vamos substituir pela equação que achamos ali em cima:
Substituindo todos os valores de senos e cossenos, vamos ter que:
Resposta
Exercício Resolvido #7
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 99, 3/7
A viga uniforme tem massa de por metro de comprimento. Calcule as reações no apoio . As cargas mostradas estão em um plano vertical.
Passo 1
O diagrama de corpo livre pode ser representado por:
Perceba que o apoio é um engaste, então tem reações horizontal, vertical e o momento.
A força é o peso da barra horizontal e é o peso do trecho correspondente a barra inclinada.
Passo 2
Vamos calcular as forças peso das barras. Como a viga é uniforme e possui por metro de comprimento, a massa da barra horizontal é:
Então, o módulo de é:
Como todas as forças estão em , vamos passar o peso para esta unidade também:
Já a massa da barra inclinada é:
Então, o módulo de é:
Passando para a unidade de , temos que:
Beleza?
Passo 3
Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :
Mas antes vamos decompor aquela força inclinada de :
Como o ângulo de inclinação da força é de com relação à vertical, temos que:
Agora vamos usar o triângulo para achar as distâncias com relação ao ponto . Pelo desenho, temos que:
Se um dos ângulos internos de um triângulo retângulo é de , então o outro é :
Portanto, o comprimento será:
Este valor será o braço de alavanca da componente horizontal da força de com relação ao ponto :
E o comprimento será:
Então, o braço de alavanca da componente vertical da força de com relação ao ponto é de:
Passo 4
Agora sim podemos calcular o somatório de momento:
Repare que o braço de alavanca do peso da barra inclinada é igual a metade da altura do triângulo:
Então, a reação momento será de:
Como o momento deu positivo, indica que arbitramos um sentido correto para a reação de apoio, ou seja, o momento é no sentido anti-horário.
Passo 5
Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais: