Teoria Completa
Introdução
Aqui vamos expandir nossos horizontes para o universo das três dimensões.
Imagine aquela mesma tábua do tópico anterior agora apoiada em um tijolo... E você coloca sobre ela vários pesos de massas diferentes. Como fica o equilíbrio agora?
Ahhh mas a tábua tem três dimensões! E agora?
Perceba que vamos ver situações mais próximas da realidade, já que vivemos em um mundo tridimensional.
Então, fica calmo e vem comigo aprender como resolver isso! Partiu?
Tipos de equilíbrio
- Forças Concorrentes em um ponto
- Forças concorrentes em uma linha:
- Forças Paralelas:
- Caso Geral:
Nesse caso, semelhante ao que vimos no tópico , as condições de equilíbrio serão:
Viu a diferença? Agora temos uma equação a mais para as componentes das forças na direção
Para calcular essas paradas você já sabe: basta decompor as forças em cada um dos eixos e soma-las respeitando seu sentido positivo ou negativo.
E como todas as forças apontam para um mesmo ponto, o momento é nulo.
Nesse caso, existirá o momento, mas não em relação ao eixo definido pela linha. No desenho do exemplo, a linha é paralela ao . Assim, as condições de equilíbrio serão:
Lembra que se uma força cruzar um eixo ela não realiza momento em relação a esse eixo? É por isso que não existe momento em relação ao eixo , pois a linha do desenho é paralela a este eixo.
Ou seja, só haverá momento nos eixos em que as forças não estão chegando.
Da mesma forma que nos outros casos, teremos:
E o momento? Bom, perceba que se as forças forem paralelas a um eixo, não realizarão momentos em relação a ele. Assim, de acordo com o desenho do exemplo, só haverá momento nos eixos e :
E, como sempre, sabemos que no caso geral as condições abrangem todos os eixos tanto para as forças quanto para os momentos:
Show de bola?
#PartiuExercitar
Exercício Resolvido #1
Uma chapa quadrada e uniforme de aço de de comprimento de aresta e uma massa de está suspensa no plano horizontal pelos três fios verticais, como mostrado. Calcule a força trativa de cada fio.
Passo 1
Vamos desenhar o sistema junto com os eixos:
Para que a placa esteja em equilíbrio, as seguintes relações precisam ser satisfeitas:
Passo 2
Vamos primeiro calcular os momentos em relação ao eixo
Para isso, perceba que e tendem a girar a placa em torno do eixo no mesmo sentido; já o peso, tende a girar a placa no sentido contrário. Além disso, perceba que está a uma distância de do eixo , a uma distância de e a uma distância de
Sendo, o módulo da força peso da placa igual a:
Então, os momentos de cada uma das forças com relação ao eixo é::
Como todos os termos estão multiplicados por , podemos cortar ele da equação:
Dividindo tudo por
E perceba que não realiza momento, pois ele está bem em cima do eixo e não tem braço de alavanca com relação a este eixo.
Passo 3
Agora vamos para o eixo
Aqui as forças e continuam exercendo momento de sentidos iguais assim como o momento do peso continua se opondo a eles. O que mudou foi a distância das forças:
está a uma distância de do eixo , e está a uma distância de do eixo. tem uma distância de do eixo:
Cortando todos os
Passo 4
Já temos esse sistema aqui:
Podemos subtrair a primeira equação da segunda:
Substituindo essa relação na segunda equação:
E será:
Passo 5
Agora, para achar , basta a agente usar a relação do equilíbrio das forças:
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #2
O eixo horizontal de aço tem uma massa de e está suspenso por um cabo vertical em e por um segundo cabo que passa por baixo do eixo e está situada em um plano vertical transversal. Calcule as forças trativas e nos cabos.
Passo 1
Para que o sistema esteja em equilíbrio, as duas condições abaixo precisam ser satisfeitas:
A configuração das forças é mais ou menos assim:
Pela figura do enunciado dá para notar que a barra tem de comprimento. Sendo assim, o peso é aplicado no centro da barra, numa distância de de cada extremidade.
Ainda pela figura do enunciado, vemos que as forças de valor são aplicadas a uma distância de da extremidade. Sendo assim, o peso será aplicado a uma distância de do ponto de aplicação das forças.
Passo 2
Vamos calcular os momentos das forças em relação ao eixo que passa em .
Nesse caso, perceba que as duas forças de valor não exercem momento em relação a esse eixo.
Só o peso e a exercem.
Vamos calcular o módulo do peso da barra:
Perceba que essas forças geram momentos de sentidos contrários. Assim:
Passo 3
Agora ficou mais fácil, vamos usar a segunda condição para achar .
Antes disso, veja que a gente tem que pegar apenas a componente vertical da força ():
Ou seja:
Passo 4
Bom, mas são duas forças, então:
Observando o nosso triângulo, vemos que o cosseno do ângulo é:
Substituindo isso na equação de , temos que:
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
A parte de um lustre que é sustentada por correntes tem a forma de uma parte de casca esférica. Se a massa da parte de vidro é , determine a força trativa em cada uma da correntes.
Passo 1
Bom, quais são as forças que agem no sistema?
A força peso e a força de tensão em cada uma das correntes.
Para que a massa esteja em equilíbrio, vamos precisar garantir que:
Passo 2
O sistema simplificado pode ser representado assim:
Passo 3
Bom, pelo desenho e pelo enunciado, percebemos que as componentes verticais das tensões () vão equilibrar o peso. Assim, podemos escrever:
Lembre-se: são três correntes igualmente espaçadas, sendo assim, são três tensões.
Passo 4
Pelo triângulo formado pela tensão, podemos dizer:
Nós só não sabemos quem é mas basta usarmos o triângulo retângulo da figura:
Pra ficar mais fácil de ver, vamos tirar o triângulo do desenho:
Assim:
Passo 5
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma banqueta de três pernas está submetida à carga , como mostrado. Determine a força de reação vertical sob cada perna. Despreze o peso da banqueta.
Passo 1
O que queremos saber nessa questão é quais são os módulos das forças de reação: e.
Em primeiro lugar, veja que as forças de reação em e serão iguais. Por quê? Porque existe um plano de simetria passando entre e
Esse plano divide a figura em duas partes iguais. Faz sentido pensar que tudo que ocorrer fisicamente em uma metade ocorrerá na outra também, não é mesmo?
Passo 2
Agora vamos testar o equilíbrio de momentos em relação ao eixo
Mas vamos ser espertos: passaremos o eixo em cima do ponto Dessa forma, o momento que realizar será nulo em relação a esse eixo:
Passo 3
Beleza! Agora só precisou calcular o momento que cada força faz em relação a esse eixo.
Assim de cara, perceba que as forças de reação apontarão na direção contrária à força .
Além disso, veja que a direção horizontal da força até o eixo é de:
.
Assim, podemos dizer que o momento da força é dado por:
Vamos atribuir a este momento o valor positivo. E o valor negativo ao momento das outras forças.
Passo 4
Bom, vamos às outras forças. Em primeiro lugar, pela simetria, como vimos, elas serão iguais:
E qual será a distância das forças até o eixo?
Temos que usar um pouco de trigonometria:
Essa é a vista de cima da projeção do banco no chão.
Qual é a distância de até
Basta a gente formar o triângulo abaixo em cima da figura:
Em outras palavras, a distância vai ser igual a mais o lado () do triângulo acima. Podemos calcular o lado usando trigonometria:
Então, a distância total do ponto até o ponto é:
E a distância de até Mesma coisa, já que é simétrico:
Passo 5
Beleza, então os momentos de cada força valerão:
Usando a relação:
Simplificando e isolando essa parada: