Equilíbrio em Três Dimensões

Teoria Completa

Introdução

Aqui vamos expandir nossos horizontes para o universo das três dimensões.

Imagine aquela mesma tábua do tópico anterior agora apoiada em um tijolo... E você coloca sobre ela vários pesos de massas diferentes. Como fica o equilíbrio agora?

Ahhh mas a tábua tem três dimensões! E agora?

Perceba que vamos ver situações mais próximas da realidade, já que vivemos em um mundo tridimensional.

Então, fica calmo e vem comigo aprender como resolver isso! Partiu?

Tipos de equilíbrio

  • Forças Concorrentes em um ponto
  • Nesse caso, semelhante ao que vimos no tópico 2 D , as condições de equilíbrio serão:

    ∑ F → x = 0 →

    ∑ F → y = 0 →

    ∑ F → z = 0 →

    Viu a diferença? Agora temos uma equação a mais para as componentes das forças na direção z .

    Para calcular essas paradas você já sabe: basta decompor as forças em cada um dos eixos e soma-las respeitando seu sentido positivo ou negativo.

    E como todas as forças apontam para um mesmo ponto, o momento é nulo.

  • Forças concorrentes em uma linha:
  • Nesse caso, existirá o momento, mas não em relação ao eixo definido pela linha. No desenho do exemplo, a linha é paralela ao x . Assim, as condições de equilíbrio serão:

    ∑ F → x = 0 →

    ∑ F → y = 0 →

    ∑ F → z = 0 →

    ∑ M → y = 0 →

    ∑ M → z = 0 →

    Lembra que se uma força cruzar um eixo ela não realiza momento em relação a esse eixo? É por isso que não existe momento em relação ao eixo x , pois a linha do desenho é paralela a este eixo.

    Ou seja, só haverá momento nos eixos em que as forças não estão chegando.

  • Forças Paralelas:
  • Da mesma forma que nos outros casos, teremos:

    ∑ F → x = 0 →

    ∑ F → y = 0 →

    ∑ F → z = 0 →

    E o momento? Bom, perceba que se as forças forem paralelas a um eixo, não realizarão momentos em relação a ele. Assim, de acordo com o desenho do exemplo, só haverá momento nos eixos y e z :

    ∑ M → y = 0 →

    ∑ M → z = 0 →

  • Caso Geral:

E, como sempre, sabemos que no caso geral as condições abrangem todos os eixos tanto para as forças quanto para os momentos:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

∑ F → z = 0 →

∑ M → x = 0 →

∑ M → y = 0 →

∑ M → z = 0 →

Show de bola?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 112, 3/62

Uma chapa quadrada e uniforme de aço de 360   m m de comprimento de aresta e uma massa de 15 k g está suspensa no plano horizontal pelos três fios verticais, como mostrado. Calcule a força trativa de cada fio.

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Passo 1

Vamos desenhar o sistema junto com os eixos:

Para que a placa esteja em equilíbrio, as seguintes relações precisam ser satisfeitas:

∑ M → x = 0 →

∑ M → y = 0 →

∑ F → z = 0 →

Passo 2

Vamos primeiro calcular os momentos em relação ao eixo x :

∑ M → x = 0 →

Para isso, perceba que T → A   e   T → C tendem a girar a placa em torno do eixo x no mesmo sentido; já o peso, tende a girar a placa no sentido contrário. Além disso, perceba que T → A está a uma distância de 120   m m do eixo x , T → C a uma distância de 360   m m e P → a uma distância de 180   m m :

Sendo, o módulo da força peso da placa igual a:

P → = P = m g = 15.10 = 150   N

Então, os momentos de cada uma das forças com relação ao eixo x é::

M A + M C - M p = 0

T A ( 120.10 - 3 ) + T C ( 360.10 - 3 ) - 150 . 180.10 - 3 = 0

Como todos os termos estão multiplicados por 10 - 3 , podemos cortar ele da equação:

120 T A + 360 T C = 27000

Dividindo tudo por 10 :

12 T A + 36 T C = 2700

E perceba que T → B não realiza momento, pois ele está bem em cima do eixo x e não tem braço de alavanca com relação a este eixo.

Passo 3

Agora vamos para o eixo y :

Aqui as forças T → A   e   T → C continuam exercendo momento de sentidos iguais assim como o momento do peso continua se opondo a eles. O que mudou foi a distância das forças:

T → A   está a uma distância de 360   m m do eixo y , e T → C está a uma distância de 180   m m do eixo. P → tem uma distância de 180   m m do eixo:

T A ( 360.10 - 3 ) + T C ( 180.10 - 3 ) - 150 ( 180.10 - 3 ) = 0

Cortando todos os 10 - 3 :

360 T A + 180 T C = 27000

36 T A + 18 T C = 2700

Passo 4

Já temos esse sistema aqui:

12 T A + 36 T C = 2700

36 T A + 18 T C = 2700

Podemos subtrair a primeira equação da segunda:

- 24 T A + 18 T C = 0           →           T C = 1,33 T A

Substituindo essa relação na segunda equação:

36 T A + 18 1,33 T A = 2700

36 T A + 24 T A = 2700

60 T A = 2700           →           T A ≅ 45   N

E T C será:

T C = 1,33 T A ≅ 60   N

Passo 5

Agora, para achar T B , basta a agente usar a relação do equilíbrio das forças:

∑ F → z = 0 →

T A + T B + T c - P = 0

45 + 60 + T B - 15.10 = 0

T B = 150 - 45 - 60 = 45   N

Assim:

T B = 45   N

T C = 60   N

T A = 45   N

Resposta

T B = 45   N

T C = 60   N

T A = 45   N

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam& L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 112, 3/63

O eixo horizontal de aço tem uma massa de 480 k g e está suspenso por um cabo vertical em A e por um segundo cabo B C que passa por baixo do eixo e está situada em um plano vertical transversal. Calcule as forças trativas T 1 e T 2 nos cabos.

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Passo 1

Para que o sistema esteja em equilíbrio, as duas condições abaixo precisam ser satisfeitas:

∑ M → = 0 →

∑ F → z = 0 →

A configuração das forças é mais ou menos assim:

Pela figura do enunciado dá para notar que a barra tem 8 m de comprimento. Sendo assim, o peso é aplicado no centro da barra, numa distância de 4 m de cada extremidade.

Ainda pela figura do enunciado, vemos que as forças de valor T 2 são aplicadas a uma distância de 3 m da extremidade. Sendo assim, o peso será aplicado a uma distância de 1 m do ponto de aplicação das forças.

Passo 2

Vamos calcular os momentos das forças em relação ao eixo y que passa em B C .

Nesse caso, perceba que as duas forças de valor T 2 não exercem momento em relação a esse eixo.

Só o peso e a T → 1 exercem.

Vamos calcular o módulo do peso da barra:

P → = P = m g = 480 9,81 = 4709   N

Perceba que essas forças geram momentos de sentidos contrários. Assim:

M T 1 - M P = 0

T 1 ( 4 ) - P ( 1 ) = 0

4 T 1 - 4709 ( 1 ) = 0

T 1 = 4709 4 = 1177 N

Passo 3

Agora ficou mais fácil, vamos usar a segunda condição para achar T 2 .

Antes disso, veja que a gente tem que pegar apenas a componente vertical da força ( F z ):

Ou seja:

F z = T 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Bom, mas são duas forças, então:

F z = 2 T 2 cos ⁡ θ

Observando o nosso triângulo, vemos que o cosseno do ângulo θ é:

cos ⁡ θ = 3 3 , 35

Substituindo isso na equação de F z , temos que:

F z = 2 3 3,35 T 2

F z = 1,791 T 2

Assim:

∑ F → z = 0 →

P - F z - T 1 = 0 → 1,791 T 2 = P - T 1

T 2 = P - T 1 1,791

T 2 = 4709 - 1177 1,791

T 2 = 1974   N

Resposta

T 1 = 1177 N

T 2 = 1974 N

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 112, 3/65

A parte de um lustre que é sustentada por correntes tem a forma de uma parte de casca esférica. Se a massa da parte de vidro é m , determine a força trativa T em cada uma da correntes.

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Passo 1

Bom, quais são as forças que agem no sistema?

A força peso P → e a força de tensão T → em cada uma das correntes.

Para que a massa m esteja em equilíbrio, vamos precisar garantir que:

∑ F → z = 0 →

Passo 2

O sistema simplificado pode ser representado assim:

Passo 3

Bom, pelo desenho e pelo enunciado, percebemos que as componentes verticais das tensões ( T y ) vão equilibrar o peso. Assim, podemos escrever:

3 T y - P = 0

3 T y = m g

Lembre-se: são três correntes igualmente espaçadas, sendo assim, são três tensões.

Passo 4

Pelo triângulo formado pela tensão, podemos dizer:

T y = T s e n   θ

Nós só não sabemos quem é θ , mas basta usarmos o triângulo retângulo da figura:

Pra ficar mais fácil de ver, vamos tirar o triângulo do desenho:

Assim:

t g   θ = 4 r 2 r = 2             →           θ = a r c t g 2 ≅ 63,4 °

Passo 5

Então:

3 T s e n 63,4 ° = m g           →           T = m g 3 s e n 63 , °

T ≅ 0,373 m g

Resposta

T = 0,373 m g

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 113, 3/69

Uma banqueta de três pernas está submetida à carga L , como mostrado. Determine a força de reação vertical sob cada perna. Despreze o peso da banqueta.

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Passo 1

O que queremos saber nessa questão é quais são os módulos das forças de reação: N A ,   N B   e   N C .

Em primeiro lugar, veja que as forças de reação em B   e   C serão iguais. Por quê? Porque existe um plano de simetria passando entre B   e   C :

Esse plano divide a figura em duas partes iguais. Faz sentido pensar que tudo que ocorrer fisicamente em uma metade ocorrerá na outra também, não é mesmo?

Passo 2

Agora vamos testar o equilíbrio de momentos em relação ao eixo x :

∑ M → x = 0 →

Mas vamos ser espertos: passaremos o eixo x em cima do ponto A . Dessa forma, o momento que N A realizar será nulo em relação a esse eixo:

Passo 3

Beleza! Agora só precisou calcular o momento que cada força faz em relação a esse eixo.

Assim de cara, perceba que as forças de reação apontarão na direção contrária à força L .

Além disso, veja que a direção horizontal da força L até o eixo x é de:

d = 100 + 75 = 175   m m .

Assim, podemos dizer que o momento da força é dado por:

M L = L . 175.10 - 3   N ⋅ m

Vamos atribuir a este momento o valor positivo. E o valor negativo ao momento das outras forças.

Passo 4

Bom, vamos às outras forças. Em primeiro lugar, pela simetria, como vimos, elas serão iguais:

N → B = N → C = N →

E qual será a distância das forças até o eixo?

Temos que usar um pouco de trigonometria:

Essa é a vista de cima da projeção do banco no chão.

Qual é a distância de B até A ?

Basta a gente formar o triângulo abaixo em cima da figura:

Em outras palavras, a distância vai ser igual a 250   m m mais o lado ( l ) do triângulo acima. Podemos calcular o lado l usando trigonometria:

cos ⁡ 60 ° = l 250         →           l = 250 cos ⁡ 60 °

Então, a distância total do ponto B até o ponto A é:

d B A = 250 + 250 cos ⁡ 60 ° = 250 1 + cos ⁡ 60 ° = 250 1 + 0,5

d B A = 375   m m

E a distância de C até A ? Mesma coisa, já que é simétrico:

d C A = 375   m m

Passo 5

Beleza, então os momentos de cada força N → valerão:

M N = - 375.10 - 3   N ⋅ m

Usando a relação:

∑ M → x = 0 →

L . 175.10 - 3 + 2 . - 375.10 - 3 N = 0

Simplificando e isolando essa parada:

N = 175 2.375 L

∴</