Equilíbrio em Três Dimensões

Teoria Completa

Introdução

Aqui vamos expandir nossos horizontes para o universo das três dimensões.

Imagine aquela mesma tábua do tópico anterior agora apoiada em um tijolo... E você coloca sobre ela vários pesos de massas diferentes. Como fica o equilíbrio agora?

Ahhh mas a tábua tem três dimensões! E agora?

Perceba que vamos ver situações mais próximas da realidade, já que vivemos em um mundo tridimensional.

Então, fica calmo e vem comigo aprender como resolver isso! Partiu?

Tipos de equilíbrio

  • Forças Concorrentes em um ponto
  • Nesse caso, semelhante ao que vimos no tópico 2 D , as condições de equilíbrio serão:

    ∑ F → x = 0 →

    ∑ F → y = 0 →

    ∑ F → z = 0 →

    Viu a diferença? Agora temos uma equação a mais para as componentes das forças na direção z .

    Para calcular essas paradas você já sabe: basta decompor as forças em cada um dos eixos e soma-las respeitando seu sentido positivo ou negativo.

    E como todas as forças apontam para um mesmo ponto, o momento é nulo.

  • Forças concorrentes em uma linha:
  • Nesse caso, existirá o momento, mas não em relação ao eixo definido pela linha. No desenho do exemplo, a linha é paralela ao x . Assim, as condições de equilíbrio serão:

    ∑ F → x = 0 →

    ∑ F → y = 0 →

    ∑ F → z = 0 →

    ∑ M → y = 0 →

    ∑ M → z = 0 →

    Lembra que se uma força cruzar um eixo ela não realiza momento em relação a esse eixo? É por isso que não existe momento em relação ao eixo x , pois a linha do desenho é paralela a este eixo.

    Ou seja, só haverá momento nos eixos em que as forças não estão chegando.

  • Forças Paralelas:
  • Da mesma forma que nos outros casos, teremos:

    ∑ F → x = 0 →

    ∑ F → y = 0 →

    ∑ F → z = 0 →

    E o momento? Bom, perceba que se as forças forem paralelas a um eixo, não realizarão momentos em relação a ele. Assim, de acordo com o desenho do exemplo, só haverá momento nos eixos y e z :

    ∑ M → y = 0 →

    ∑ M → z = 0 →

  • Caso Geral:

E, como sempre, sabemos que no caso geral as condições abrangem todos os eixos tanto para as forças quanto para os momentos:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

∑ F → z = 0 →

∑ M → x = 0 →

∑ M → y = 0 →

∑ M → z = 0 →

Show de bola?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 112, 3/62

Uma chapa quadrada e uniforme de aço de 360   m m de comprimento de aresta e uma massa de 15 k g está suspensa no plano horizontal pelos três fios verticais, como mostrado. Calcule a força trativa de cada fio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos desenhar o sistema junto com os eixos:

Para que a placa esteja em equilíbrio, as seguintes relações precisam ser satisfeitas:

∑ M → x = 0 →

∑ M → y = 0 →

∑ F → z = 0 →

Passo 2

Vamos primeiro calcular os momentos em relação ao eixo x :

∑ M → x = 0 →

Para isso, perceba que T → A   e   T → C tendem a girar a placa em torno do eixo x no mesmo sentido; já o peso, tende a girar a placa no sentido contrário. Além disso, perceba que T → A está a uma distância de 120   m m do eixo x , T → C a uma distância de 360   m m e P → a uma distância de 180   m m :

Sendo, o módulo da força peso da placa igual a:

P → = P = m g = 15.10 = 150   N

Então, os momentos de cada uma das forças com relação ao eixo x é::

M A + M C - M p = 0

T A ( 120.10 - 3 ) + T C ( 360.10 - 3 ) - 150 . 180.10 - 3 = 0

Como todos os termos estão multiplicados por 10 - 3 , podemos cortar ele da equação:

120 T A + 360 T C = 27000

Dividindo tudo por 10 :

12 T A + 36 T C = 2700

E perceba que T → B não realiza momento, pois ele está bem em cima do eixo x e não tem braço de alavanca com relação a este eixo.

Passo 3

Agora vamos para o eixo y :

Aqui as forças T → A   e   T → C continuam exercendo momento de sentidos iguais assim como o momento do peso continua se opondo a eles. O que mudou foi a distância das forças:

T → A   está a uma distância de 360   m m do eixo y , e T → C está a uma distância de 180   m m do eixo. P → tem uma distância de 180   m m do eixo:

T A ( 360.10 - 3 ) + T C ( 180.10 - 3 ) - 150 ( 180.10 - 3 ) = 0

Cortando todos os 10 - 3 :

360 T A + 180 T C = 27000

36 T A + 18 T C = 2700

Passo 4

Já temos esse sistema aqui:

12 T A + 36 T C = 2700

36 T A + 18 T C = 2700

Podemos subtrair a primeira equação da segunda:

- 24 T A + 18 T C = 0           →           T C = 1,33 T A

Substituindo essa relação na segunda equação:

36 T A + 18 1,33 T A = 2700

36 T A + 24 T A = 2700

60 T A = 2700           →           T A ≅ 45   N

E T C será:

T C = 1,33 T A ≅ 60   N

Passo 5

Agora, para achar T B , basta a agente usar a relação do equilíbrio das forças:

∑ F → z = 0 →

T A + T B + T c - P = 0

45 + 60 + T B - 15.10 = 0

T B = 150 - 45 - 60 = 45   N

Assim:

T B = 45   N

T C = 60   N

T A = 45   N

Resposta

T B = 45   N

T C = 60   N

T A = 45   N

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam& L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 112, 3/63

O eixo horizontal de aço tem uma massa de 480 k g e está suspenso por um cabo vertical em A e por um segundo cabo B C que passa por baixo do eixo e está situada em um plano vertical transversal. Calcule as forças trativas T 1 e T 2 nos cabos.