Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

Pessoal, aqui o problema pede para calcular a inclinação que é dada por e a deflexão que é o termo ou , aqui vamos usar . Existem diversas formas de fazer isso mas vamos utilizar a técnica dos momentos de área.

A gente viu dois teoremas que vão nos ajudar o primeiro é para calcular a inclinação. Para isso basta achar a área embaixo do gráfico

Já para achar a deflexão é só pegar o termo que achamos no item acima e multiplicar pelo centroide da área.

Vamos fazer o passo a passo.

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em então:

Agora fazendo o somatório das forças em :

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto e considerando o sentido anti-horário positivo:

Agora vamos colocar essas forças na viga:

O diagrama ficará da seguinte forma:

Nesse caso o valor máximo (em módulo) é em , vale e vai se aproximando de zero linearmente até chegar em em

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Para achar esse valor de , que é a inclinação de em relação à inclinação de vamos calcular a área embaixo do gráfico entre e , desta forma vamos ter:

Como não existe inclinação em pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

Assim já temos a inclinação e vale:

Para achar a deflexão basta multiplicar o termo pelo centroide de área que acabamos de utilizar.

Como o centroide de um triângulo está localizado a uma distância de da extremidade, vamos ter:

obs: Reaparem que precisamos pegar a distância a partir do ponto , pois estamos calculando . Se estivéssemos calculando pegaríamos a distância a partir do ponto .

Assim a deflexão será igual a:

Novamente pelo motivo da viga estar engastada vamos ter que a deflexão é nula em portanto:

Repare que ambas respostas deram negativas, o que faz sentido já que tanto a inclinação quanto a deflexão estão abaixo da tangente de .

Para achar a inclinação e a deflexão nós vamos utilizar os dois teoremas vistos, lembrando que tanto a inclinação quanto a deflexão são iguais a zero no ponto de engaste.

Antes de mais nada é muito importante que façamos o diagrama do momento fletor e depois vamos calcular a área para achar a inclinação.

Por fim vamos multiplicar a área pelo centroide da área afim de achar a deflexão!

A primeira coisa que temos de fazer então é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em então:

Agora fazendo o somatório das forças em :

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto e considerando o sentido anti-horário positivo:

Agora vamos colocar essas forças na viga:

No trecho nós vamos ter que a força cortante vai valer:

E o momento fletor:

No trecho vamos ter que a força cortante vai valer:

E o momento fletor:

O diagrama ficará da seguinte forma:

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Dando um zoom no ponto vamos obter o seguinte:

Onde a reta pontilhada é a tangente de (ela tem inclinação zero porque está engastado) e a reta contínua é a tangente de , a gente quer o ângulo entre as duas.

Para achar esse valor de vamos calcular a área embaixo do gráfico entre e , desta forma vamos ter:

Como não existe inclinação em pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

Assim já temos a inclinação e vale:

Agora vamos calcular a deflexão em para isso a gente tem que achar a inclinação em , ou seja a área do gráfico abaixo.

A área vai ser igual a:

Agora, para achar a deflexão precisamos também do centroide da área. Calculando esse centroide vamos ter:

Lembre-se que a posição do centroide tem o o ponto como referência!

Para facilitar vamos encontrar a posição do centroide de cada uma das três figuras (os dois triângulos e o retângulo) em relação à origem:

Podemos cortar um e o termo :

Mas como queremos em relação à e não em relação à origem vamos ter:

E agora é só multiplicar na área

Vamos obter:

Galerinha, esse problema é muito parecido com os anteriores e pede a deflexão máxima. A partir daí já podemos saber que essa deflexão máxima ocorre no centro da viga, pelo fato de existir apenas um carregamento central, o peso da ginasta.

Além disso é válido lembrar também que a pesar de não haver inclinação nos apoios, existirá inclinação em ambos. Isso é importante para a resolução.

Vamos começar o problema que nem sempre e fazer um esquema de forças e achar o diagrama do momento fletor.

Partiu!

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Pessoal, já coloquei direto os valores das reações porque elas tem que ser iguais. Logo se a gente tem uma carga central de então cada reação tem o valor de , ok?

Agora podemos fazer o diagrama de momento fletor, fazendo um corte na barra vamos obter:

Para achar a força cortante:

Para achar o momento fletor:

O diagrama é simétrico e possui valor máximo em , assim podemos obter:

Pessoal, reparem que aqui temos o diagrama do momento fletor sobre , não apenas do momento fletor!

Agora vamos calcular a deflexão máxima, que ocorre no centro. Para isso vamos calcular a área do diagrama que fizemos de modo a achar primeiro a inclinação no ponto médio.

Gente, nessa etapa tentem sempre fazer um esboço da linha elástica, nesse caso vai ficar assim:

Olha só agora como ficou! A tangente em que é nula neste caso, enquanto a tangente em tem uma inclinação. Gente, isso faz sentido dadas as condições de contorno né? (Uma viga simplesmente apoiada vai ter inclinação nas pontas. Como a carga é simétrica o centro não tem inclinação).

De qualquer forma vamos poder calcular o termo da inclinação de com relação à :

Assim, vamos ter que:

Lembrando que:

Como a inclinação de é nula, vamos ter que:

Agora a gente vai terminar esse problema com um pouquinho de geometria, se liga:

O que queremos achar é a deflexão em , ou seja, . A partir da geometria da figura a gente tem que:

Onde poder ser achado por semelhança de triângulos (um com base de e outro com base de ):

Logo, podemos calcular como:

Agora só precisamos achar e . Para isso vamos voltar ao nosso diagrama. Calculando primeiro vamos ter:

Agora vamos calcular :

Agora é só juntar os termos:

Assim vamos ter:

Mas ainda falta substituir os termos e .

Calculando o momento de inércia:

Essa equação aí é tabelada ta bom, pessoal?

Agora é só fazer o momento de inércia de cada figura com relação ao eixo que passa pelo centroide, ou seja, a altura h da base maior do trapézio. Dividindo o trapézio em 2 triangulos e 1 retângulo, o momento de inércia dos triângulos é:

Agora para o retângulo:

O momento de inércia total vale:

Agora é só substituir:

E aí, pessoal!!

Essa questão já um pouquinho mais complexa porque, apesar de pedir as mesmas coisas (inclinação e deflexão) aqui não há engaste. Ou seja, quando a gente for calcular a inclinação utilizando o método da área e vamos ter algo do tipo:

Sendo que agora existe uma inclinação em .

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em então:

Agora fazendo o somatório das forças em :

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto e considerando o sentido anti-horário positivo:

Dessa forma:

Agora vamos colocar essas forças na viga:

Como só existem forças pontuais o momento fletor cresce e decresce de forma linear tendo o seu máximo no ponto máximo em . Fazendo o corte na seção vamos obter:

Para achar a força cortante:

Para achar o momento fletor: