Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Teoria

Meus queridos e minhas queridas que tal aprendermos mais um método para o cálculo da inclinação e deslocamento da linha elástica?

A gente já viu como fazer isso por integração e agora vamos aprender a fazer por meio da área do diagrama de momento fletor! Até porque né, áreas e integrais tem tudo a ver não é mesmo?

Pessoal, este tipo de método sempre vai achar a diferença entre as inclinações de dois pontos da viga. Nunca o valor absoluto, ok? Então dá uma olhada no exemplo abaixo para ficar um pouco mais concreto para você!

Diferença entre inclinações

Vamos pegar o exemplo de uma viga biapoiada com uma carga central sendo exercida sobre ela.

Nesse desenho a gente já representou a deflexão que a viga está sofrendo. Agora vamos imaginar que queremos calcular a inclinação do ponto B em relação ao ponto central.

Uma forma melhor de ver essa viga é representar apenas a linha elástica e a inclinação em B e no centro C , da seguinte forma.

Viram que a inclinação de B em relação à inclinação de C é dada pelo ângulo θ B / C , formado pelas duas retas tangentes?

É exatamente esse ângulo que vamos achar quando aplicarmos o conceito das áreas. É importante lembrar também que não vamos achar o ângulo de B ou C mas o ângulo entre os dois!

Agora vamos para a parte das contas..

Equação da linha elástica

Pessoal, a gente já viu a equação da linha elástica mas pra refrescar a memória vou colocar de novo aqui pra vocês.

d 2 y d x 2 = M E I

Onde y é o próprio deslocamento, ou deflexão, da linha elástica. E e I são a constante elástica e o momento de inércia e M o momento fletor.

Além disso a gente tem também a equação da inclinação, que é nada mais nada menos do que a primeira derivada dessa joça aí:

θ = d y d x = ∫ M E I   d x

Show de bola, agora que a gente relembrou essas equações a gente vai ver como elas vão se tornar áreas. Deixa eu te fazer uma pergunta, como você calcularia a área da função f ( x ) dada abaixo entre os pontos A e B ?

Você, que é um excelente aluno de cálculo que eu seeei, vai fazer a integral dessa função entre A e B :

Á r e a = ∫ A B f x   d x

E você vai estar certo!! Uhulll que felicidade =D

Cálculo da inclinação pela área

Agora imagina que a gente constrói o seguinte gráfico:

A área desse gráfico vai ser igual a:

Á r e a = ∫ A B M E I   d x

Repare que isso é idêntico à equação da inclinação!

θ = d y d x = ∫ M E I   d x

Então a gente pode dizer que a inclinação entre dois pontos ( A   e   B ) da nossa viga é igual a área do diagrama M / E I !!! Colocando na forma de uma expressão:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

A gente pode escrever ainda que a diferença entre esses dois ângulos pode ser escrita como:

θ B / A = θ B - θ A

Agora que tal ver isso para o deslocamento?

Cálculo do deslocamento pela área

Pessoal, no caso do deslocamento a gente não vai usar a área apenas, vamos utilizar o momento da área. Assim, vamos precisar achar o baricentro de área também!

Nesse caso também vamos achar um deslocamento entre dois pontos, ok? E não o valor absoluto!

Colocando na forma de uma equação vamos ter:

t A / B = ∫ A B x   M E I   d x = x - ∫ A B   M E I   d x

Reparem que o termo x sai da integral e se torna x - que é o próprio centroide! Além disso essa equação é obtida de algumas aproximações considerando que os ângulos e deflexões são muito pequenos. Mas o principal para você agora é saber que a deflexão pode ser calculada pelo momento da área.

t A / B = x -   .   A

Podemos escrever ainda:

t A / B = x -   .   θ A / B

Onde t A / B é o deslocamento, ou deflexão, relativo(a) entre A e B . x - é o centroide da área e θ A / B é a inclinação relativa entre A e B (que é igual a área).

Vamos fazer um exemplo!

Exemplinho

Imaginem que construímos o seguinte diagrama M / E I . Que é o diagrama de momento fletor mas dividido pelos termos E e I , beleza?

Se a gente quiser achar a inclinação entre os pontos x = 10   m e x = 5   m . A gente só precisa achar a área da figura formada:

θ B / C = 1 2 5 300 E I = 750 E I

Tranquilo né? Aqui é válido lembrar também dois pontos:

  1. Esse valor do ângulo é dado em radianos quando utilizadas grandezas no sistema internacional [ P a ,   m ,   N . . ]
  2. Valores positivos representam variações no sentido anti-horário, enquanto valores negativos representam variações no sentido horário

Agora vamos achar também o deslocamento relativo entre os dois pontos. Lembre-se que para isso temos de achar o centroide:

t B / C = x -   .     A

t B / C = 2 3 × 5   .   750 E I

t B / C = 2500 E I

Vamos frisar três pontos importantes aqui também:

  1. O valor do deslocamento é dado em metros quando utilizadas grandezas no sistema internacional [ P a ,   m ,   N . . ]
  2. Valores positivos representam deflexões acima da linha tangente, enquanto valores negativos representam deflexões abaixo da linha tangente.
  3. A distância x - do baricentro é calculada em relação ao primeiro ponto do termo t B / C , ou seja entorno do ponto B . No nosso caso B = 10   m e C = 5   m . Isso é muito importante e faz toda a diferença no final!

Equação da linha elástica

Cálculo da inclinação pela área

Cálculo do deslocamento pela área

Exemplinho

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a inclinação e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Pessoal, aqui o problema pede para calcular a inclinação que é dada por θ e a deflexão que é o termo Δ ,   t ou y , aqui vamos usar t . Existem diversas formas de fazer isso mas vamos utilizar a técnica dos momentos de área.

A gente viu dois teoremas que vão nos ajudar o primeiro é para calcular a inclinação. Para isso basta achar a área embaixo do gráfico M / E I .

Já para achar a deflexão é só pegar o termo que achamos no item acima e multiplicar pelo centroide da área.

Vamos fazer o passo a passo.

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P = 0

A y = P

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M - P × L = 0

M = P L

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

O diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Nesse caso o valor máximo (em módulo) é em A , vale P L / E I e vai se aproximando de zero linearmente até chegar em 0 em x = L

Passo 4

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em B . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Para achar esse valor de θ B / A , que é a inclinação de B em relação à inclinação de A vamos calcular a área embaixo do gráfico entre B e A , desta forma vamos ter:

θ B / A = 1 2 L × - P L E I = - P L 2 2 E I

Como não existe inclinação em A pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

θ B / A = θ B

Assim já temos a inclinação e vale:

θ B = - P L 2 2 E I

Passo 5

Para achar a deflexão basta multiplicar o termo θ B pelo centroide de área que acabamos de utilizar.

Como o centroide de um triângulo está localizado a uma distância de 2 / 3 da extremidade, vamos ter:

x - = 2 3 × L = 2 L 3

obs: Reaparem que precisamos pegar a distância a partir do ponto B , pois estamos calculando t B / A . Se estivéssemos calculando t A / B pegaríamos a distância a partir do ponto A .

Assim a deflexão será igual a:

t B / A = θ B / A × x -

t B / A = - P L 2 2 E I × 2 L 3 = - P L 3 3 E I

Novamente pelo motivo da viga estar engastada vamos ter que a deflexão é nula em A portanto:

t B = - P L 3 3 E I

Repare que ambas respostas deram negativas, o que faz sentido já que tanto a inclinação quanto a deflexão estão abaixo da tangente de A .

Resposta

θ B = - P L 2 2 E I

t B = - P L 3 3 E I

Exercício Resolvido #2

Determine a inclinação em C e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Para achar a inclinação e a deflexão nós vamos utilizar os dois teoremas vistos, lembrando que tanto a inclinação quanto a deflexão são iguais a zero no ponto de engaste.

Antes de mais nada é muito importante que façamos o diagrama do momento fletor e depois vamos calcular a área para achar a inclinação.

Por fim vamos multiplicar a área pelo centroide da área afim de achar a deflexão!

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer então é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P = 0

A y = P

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M - P a - P × 2 a = 0

M = 3 P a

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

No trecho A C nós vamos ter que a força cortante vai valer:

V = P

E o momento fletor:

M = V x - 3 P a

M = P x - 3 P a = P ( x - 3 a )

No trecho C B vamos ter que a força cortante vai valer:

V = P

E o momento fletor:

M = V x - 3 P a + P a

M = P x - 2 P a = P ( x - 2 a )

O diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em C . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Dando um zoom no ponto C vamos obter o seguinte:

Onde a reta pontilhada é a tangente de A (ela tem inclinação zero porque A está engastado) e a reta contínua é a tangente de C , a gente quer o ângulo entre as duas.

Para achar esse valor de θ C / A   vamos calcular a área embaixo do gráfico entre B e A , desta forma vamos ter:

θ C / A = - 2 a P E I   a + 1 2 - a P E I ( a ) = - 5 a 2 P 2 E I

Como não existe inclinação em A pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

θ C / A = θ C

Assim já temos a inclinação e vale:

θ C = - 5 P a 2 2 E I

Passo 5

Agora vamos calcular a deflexão em B para isso a gente tem que achar a inclinação em B , ou seja a área do gráfico abaixo.

A área vai ser igual a:

A = - 2 a P E I   a + 1 2 - a P E I a + 1 2 - a P E I ( a )

A = - 3 a 2 P E I

Agora, para achar a deflexão precisamos também do centroide da área. Calculando esse centroide vamos ter:

x - = ∑ A x - ∑ A

Lembre-se que a posição do centroide tem o o ponto B como referência!

Para facilitar vamos encontrar a posição do centroide de cada uma das três figuras (os dois triângulos e o retângulo) em relação à origem:

p o s i ç ã o = 1 2 - a P E I a × a 3 + - 2 a P E I a × a 2 + 1 2 - a P E I a × a + a 3 1 2 - a P E I a + - 2 a P E I a + 1 2 - a P E I a

Podemos cortar um a e o termo ( - a P / E I ) :

p o s i ç ã o = 1 2 × a 3 + 2 × a 2 + 1 2 × a + a 3 1 2 + 2 + 1 2

p o s i ç ã o = a / 6 + a + 2 a / 3 3

p o s i ç ã o = a 18 + a 3 + 2 a 9

p o s i ç ã o = 11 a 18

Mas como queremos em relação à B e não em relação à origem vamos ter:

x - = 2 a - 11 a 18 = 25 a 18

E agora é só multiplicar na área

A = θ B = - 3 a 2 P E I

x - = 25 a 18

Vamos obter:

t B = θ B × x -

t B = - 3 a 2 P E I × 25 a 18

t B = - 25 P a 3 6 E I

Resposta

θ C = - 5 P a 2 2 E I

t B = - 25 P a 3 6 E I

Exercício Resolvido #3

Uma ginasta de 60   k g está em pé no centro da trave (viga) de equilíbrio simplesmente apoiada. Se a trave for feita de madeira e tiver aseção transversal mostrada na figura, determine a deflexão máxima. Consideramos que os apoios em A e em B são rígidos. E M = 12   G P a .

Passo 1

Galerinha, esse problema é muito parecido com os anteriores e pede a deflexão máxima. A partir daí já podemos saber que essa deflexão máxima ocorre no centro da viga, pelo fato de existir apenas um carregamento central, o peso da ginasta.

Além disso é válido lembrar também que a pesar de não haver inclinação nos apoios, existirá inclinação em ambos. Isso é importante para a resolução.

Vamos começar o problema que nem sempre e fazer um esquema de forças e achar o diagrama do momento fletor.

Partiu!

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Pessoal, já coloquei direto os valores das reações porque elas tem que ser iguais. Logo se a gente tem uma carga central de 600 N então cada reação tem o valor de 300   N , ok?

Passo 3

Agora podemos fazer o diagrama de momento fletor, fazendo um corte na barra vamos obter:

Para achar a força cortante:

∑ F y = 0

V = 300   N

Para achar o momento fletor:

∑ M = 0

M - V x = 0

M = V x = 300 x

O diagrama é simétrico e possui valor máximo em x = 2,7   m , assim podemos obter:

M = 300 × 2,7 = 810   N . m

Pessoal, reparem que aqui temos o diagrama do momento fletor sobre E I , não apenas do momento fletor!

Passo 4

Agora vamos calcular a deflexão máxima, que ocorre no centro. Para isso vamos calcular a área do diagrama que fizemos de modo a achar primeiro a inclinação no ponto médio.

Gente, nessa etapa tentem sempre fazer um esboço da linha elástica, nesse caso vai ficar assim:

Olha só agora como ficou! A tangente em C que é nula neste caso, enquanto a tangente em A tem uma inclinação. Gente, isso faz sentido dadas as condições de contorno né? (Uma viga simplesmente apoiada vai ter inclinação nas pontas. Como a carga é simétrica o centro não tem inclinação).

De qualquer forma vamos poder calcular o termo da inclinação de C com relação à A :

θ C / A = á r e a   d o   g r á f i c o

Assim, vamos ter que:

θ C / A = 1 2 2,7 810 E I = 1093,5 E I

Lembrando que:

θ C / A = θ C - θ A

Como a inclinação de θ C é nula, vamos ter que:

1093,5 E I = 0 - θ A

θ A = - 1093,5 E I

Passo 5

Agora a gente vai terminar esse problema com um pouquinho de geometria, se liga:

O que queremos achar é a deflexão em C , ou seja, t C . A partir da geometria da figura a gente tem que:

Δ = t C + t C / B

Onde Δ poder ser achado por semelhança de triângulos (um com base de 2,7 e outro com base de 2,7 × 2 ):

Δ = 1 2   t A / B

Logo, podemos calcular t C como:

t C = 1 2 t A / B - t C / B

Agora só precisamos achar t A / B e t C / B . Para isso vamos voltar ao nosso diagrama. Calculando t A / B primeiro vamos ter:

t A / B = x - × θ A / B

t A / B = 2,7 × 1 2 5,4 810 E I

t A / B = 5904,9 E I

Agora vamos calcular t C / B :

t C / B = 5,4 - 2,7 2 3 × 1 2 2,7 810 E I

t C / B = 1968,3 E I

Passo 6

Agora é só juntar os termos:

t C = 1 2 t A / B - t C / B

t C / B = 1968,3 E I

t A / B = 5904,9 E I

Assim vamos ter:

t C = 1 2 5904,9 E I - 1968,3 E I

t C = 984,15 E I

Mas ainda falta substituir os termos E e I .

Passo 7

Calculando o momento de inércia:

h = 150 3 × 2 × 75 + 125 75 + 125

Essa equação aí é tabelada ta bom, pessoal?

h = 68,75   m m

Agora é só fazer o momento de inércia de cada figura com relação ao eixo que passa pelo centroide, ou seja, a altura h da base maior do trapézio. Dividindo o trapézio em 2 triangulos e 1 retângulo, o momento de inércia dos triângulos é:

I 1 = I 3 = 1 36 b h 3 + A d 2

I 1 = I 3 = 1 36 0,025 0,150 3 + 0,025 0,150 2 0,06875 - 0,150 3 2

I 1 = I 3 = 3 , 003 × 10 - 6   m 4

Agora para o retângulo:

I 2 = 1 12 b h 3 + A d 2

I 2 = 1 12 0,075 0,150 3 + 0,075 0,150 0,075 - 0,06875 2

I 2 = 2,154 × 10 - 5   m 4

O momento de inércia total vale:

I = I 1 + I 2 + I 3

I = 3,003 × 10 - 6 + 2,154 × 10 - 5 + 3,003 × 10 - 6

I = 2 , 75 × 10 - 5   m 4

Agora é só substituir:

t C = 984,15 E I

t C = 984,15 ( 12 × 10 9 ) ( 2 , 75 × 10 - 5 )

t c = 2,98   m m

Resposta

t c = 2,98   m m

Exercício Resolvido #4

Determine a deflexão em C . E I é constante.

Passo 1

E aí, pessoal!!

Essa questão já um pouquinho mais complexa porque, apesar de pedir as mesmas coisas (inclinação e deflexão) aqui não há engaste. Ou seja, quando a gente for calcular a inclinação utilizando o método da área e vamos ter algo do tipo:

θ C / A = θ C - θ A

Sendo que agora existe uma inclinação em A .

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y + B y - 75 = 0

A y + B y = 75

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

B y × 8 - 75 × 12 = 0

B y = 112,5   k N

Dessa forma:

A y + 112,5 = 75

A y = 75 - 112,5 = - 37,5   k N

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

Como só existem forças pontuais o momento fletor cresce e decresce de forma linear tendo o seu máximo no ponto máximo em B . Fazendo o corte na seção A B vamos obter:

Para achar a força cortante:

∑ F y = 0

V = - 37,5   k N