Enunciado

Se F 1 = 100   N , F 2 = 120   N e F 3 = 80 N , determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados do momento de binário resultante.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a intensidade do momento de binário resultante e o ângulo formado com os eixos coordenados.

A chave aqui é calcular separadamente os momentos dos 4 binários, cada um na forma vetorial, para só depois fazermos as somas e calcularmos o que a questão nos pede.

Lembrando, o momento de um binário é dado por:

M = F d u

Sendo F a força, d a distância perpendicular entre as forças e u a direção do eixo.

Aah!! Não se esqueçam de utilizar a regra da mão direita para verificar se o momento é positivo ou negativo de acordo com o eixo analisado!

Passo 2

Agora que já sabemos o que devemos fazer, vamos para os cálculos! Vamos calcular os momentos de cada uma das forças. Começando pelo par F 1 , temos:

M 1 = F 1 d 1 u 1

M 1 = - 100 ⋅ 0,2 j →

M 1 = - 2 0 j →

Para o binário formado pelas forças F 2 , temos:

M 2 = F 2 d 2 u 2

M 2 = 1 2 0 ⋅ 0,2 i →

M 2 = 2 4 i →

Para F 3 ,

M 3 = F 3 d 3 u 3

M 3 = - 80 ⋅ 0,2 k →

M 3 = - 16 k →

E por fim, para F 4 , temos:

M 4 = F 4 d 4 u 4

M 4 = 150 ⋅ 0 , 3 cos ⁡ 30 ° i →

M 4 = 39 i →

Passo 3

Agora que já temos os 4 momentos na forma vetorial, podemos soma-los. Desta forma, temos o seguinte momento resultante:

M r = M 1 + M 2 + M 3 + M 4

M r = 63 i → - 20 j → - 16 k →   N ⋅ m

E a sua intensidade é:

M r = 63 2 + - 20 2 + - 16 2 = 68   N ⋅ m

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta calcularmos os ângulos formados com os eixos coordenados. Eles são os ângulos α , β e γ formados com a direção positiva dos eixos x , y e z , respectivamente.

Para calcularmos, temos:

α = arccos ⁡ M x M r = arccos ⁡ 63 68 = 22,1 °

β = arccos ⁡ M y M r = arccos ⁡ - 20 68 = 1 07 °

γ = arccos ⁡ M z M r = arccos ⁡ - 16 68 = 103 °

E assim finalizamos a questão!

Resposta

M r = 68   N ⋅ m

α = 22,1 °

β = 107 °

γ = 103 °

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