Enunciado

26. Uma haste de um quarto de círculo de peso W e seção transversal uniforme é apoiada tal como mostra a figura. Determine o momento fletor no ponto J   quando θ = 30 ° .

Passo 1

a) Bom! Primeiramente vamos fazer o esboço de todas as forças presentes no nosso sistema A B , o chamado diagrama de corpo livre:

E agora, vamos tratar de fazer o somatório dos momentos em relação a um ponto de nosso interesse. Que tal o ponto A ?

⤹ + ∑ M A = 0

r B - 2 r π W = 0

B = 2 W π       ←

Depois, bora tratar de fazer o esboço de uma pequena seção do elemento; afinal queremos achar o esforço cortante e momento fletor, para um ângulo θ   de 30 ° , não é mesmo:

Em seguida, vamos determinar o quanto vale a distância r - , através da relação entre o comprimento do arco e o valor em radianos do ângulo:

r ⋅ sen ⁡ 15 ° = r - ⋅ 15 π 180   r a d = r - sen ⁡ 15 ° ⋅ π 12   r a d

r - = r π / 12 ⋅ sen ⁡ 15 ° = 0,98862 r

E como estamos trabalhando com um ângulo de 30 ° , então nosso peso presente no elemento será um terço de W :

30 ° 90 ° ⋅ W = 1 3 W

Passo 2

E agora, que definimos duas novas direções para o nosso elemento, a radial e a tangencial, vamos fazer o somatório das forças na direção tangencial, no eixo y ' :

↗ + ∑ F y ' = 0

F - W 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° - 2 W π ⋅ sen ⁡ 30 ° = 0

F = 3 6 + 1 π W     ↗

Dessa vez; para descobrir o quanto vale o momento fletor, vamos fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto O :

⤹ + ∑ M O = 0

r F - r - cos ⁡ 15 ° W 3 + M = 0

M = - r F - r - cos ⁡ 15 ° W 3

M = - r 3 6 + 1 π W     - 0,98862 r cos ⁡ 15 ° 3 W

M = - 0,289 W r

Logo, como obtemos um valor negativo, o momento fletor, que chamaremos de M J , está no sentido horário e é dado por:

M J = 0,289 W r   ⤸

Resposta

M J = 0,289 W r   ⤸

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