Enunciado

2.95 Para a barra do Problema 2.87 determine a intensidade, a direção e o sentido da resultante das forças exercidas pelo cabo em B sabendo que a tensão no cabo é 385 N.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o módulo das forças e a direção delas definida por dois pontos, esse é o Caso 3 da Metodologia para Resolução de Problemas que o livro nos ensina. Quando temos esses pontos precisamos encontrar os vetores unitários, que vão nos dar as direções que cada força atua e então multiplicar esses vetores pela intensidade das forças que estão atuando nessa direção.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os vetores B D e B E que vão nos dar as direções das forças, para isso é só olhar a Figura do exercícios, onde encontramos as dimensões:

B D = - 480   i + 510   j - 600 - 280   k

B D = - 480   i + 510   j - 320   k

e

B E = - 480 - 210   i + 400   j - 600   k

B E = - 270   i + 400   j - 600   k

A gente precisa do módulo desses vetores também, porque quando a gente dividir o vetor pelo seu módulo teremos o vetor unitário (Equação 2.27):

λ → = M N → M N

Para encontrar o módulo de um vetor é só tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados, ou de um escrevendo de um jeito mais bonitinho:

B D = B D x 2 + B D y 2 + B D z 2

Substituindo pelos valores:

B D = - 480 2 + 510 2 + - 320 2

B D = 770

Da mesma forma para o vetor B E :

B E = - 2 70 2 + 400 2 + - 600 2

B E = 770

Agora vamos achar os vetores unitários:

λ → B D = D B → D B

λ → B D = - 480   i + 510   j - 320   k 770

λ → B D = - 0,62 3   i + 0 , 662   j - 0 , 41 6   k

Agora para o B E :

λ → B E = B E → B E

λ → B E = - 270   i + 400   j - 600   k 770

λ → B E = - 0,351   i + 0 , 5 1 9   j - 0 , 7 7 9   k

Show, a primeira parte já foi.

Passo 3

Agora que temos os vetores unitários, que estão na direção da força, só precisamos multiplicar o módulo da força por esse vetor, que encontraremos cada um dos vetores força (Equação 2.28):

F → B D = F B D ⋅ λ → B D

Do enunciado, a gente sabe que F D B = F E B = 385   N , então:

F → B D = 385 ⋅ - 0,623   i + 0,662   j - 0,416   k

F → B D = - 240   i + 2 55   j - 1 60   k

Para F → B E :

F → B E = F B E ⋅ λ → B E

F → B E = 385 ⋅ - 0,351   i + 0,519   j - 0,779   k

F → B E = - 1 35   i + 20 0   j - 3 00   k

Agora é só somar os vetores para obtermos o resultante:

F → = F → B D + F → B E

F → = - 240   i + 255   j - 160   k + - 135   i + 200   j - 300   k

F → = - 375   i + 455   j - 4 60   k

Para encontrar o módulo do vetor resultante vamos usar a mesma fórmula que usamos no Passo anterior:

F = F x 2 + F y 2 + F z 2

F = - 375 2 + 455 2 + - 460 2

F = 748   N

Passo 4

E a direção se dá pelo ângulos θ x , θ y e θ z , e só precisamos aplicar nas fórmulas:

cos ⁡ θ x = F x F

cos ⁡ θ y = F y F

cos ⁡ θ z = F z F

Substituindo os valores que temos:

cos ⁡ θ X = - 375 748

θ x = cos - 1 ⁡ - 375 748

θ x = 120,0 °

Para θ y :

cos ⁡ θ y = 455 748

θ y = cos - 1 ⁡ 455 748

θ y = 52,5 °

Para θ z :

cos ⁡ θ z = - 460 748

θ z = cos - 1 ⁡ - 460 748

θ z = 127 , 9 °

Resposta

F = 748   N

θ x = 120,0 °

θ y = 52 , 5 °

θ z = 127,9 °

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