Enunciado

4.106. Uma lança de 2,4 m é segura por uma rótula em C e por dois cabos AD e BE. Determine a tração em cada cabo e a reação em C.

Passo 1

Vamos fazer um desenho com os pontos importantes da imagem

Bem, o que precisamos fazer é igualar o momento à 0, já que o sistema está parado, e para isso a gente vai precisar dos vetores posição, vamos calcular então

A D → = - 0,8   i ^ + 0,6   j ^ - 2,4   k ^

Vamos aproveitar e calcular o módulo, a gente já já vai precisar

A D = - 0,8 2 + 0,6 2 + - 2,4 2 = 2,6  

E agora o outro cabo

A E → = 0,8   i ^ + 1,2   j ^ - 2,4   k ^

A E = 0,8 2 + 1,2 2 + - 2,4 2 = 2 , 8

E agora podemos determinar as rações nos cabos, porque podemos determinar os vetores unitários que apontam na direção da tração

T A D = T A D A D → A D = T A D 2,6 - 0,8   i ^ + 0,6   j ^ - 2,4   k ^

E

T A E = T A E A E → A E = T A E 2,8 0,8   i ^ + 1,2   j ^ - 2,4   k ^

Passo 2

Agora a gente pode usar o esquema do momento

M A = ∑ r × F = 0

Então

M A = r A → × T A D → + r A → × T A E → + r B → × P → = 0

A gente não pode esquecer a força peso, jamais.

r A → = 2,4   k ^

r B → = 1,2   k ^

P → = - 3 , 6   j ^

Agora a gente tem tudo

M A = 2,4   k ^ × T A D 2,6 - 0,8   i ^ + 0,6   j ^ - 2,4   k ^ + 2,4   k ^ × T B E 2,6 0,8   i ^ + 1,2   j ^ - 2,4   k ^ +   ( 1,2   k ^ ) × - 3 , 6   j ^

Lembrando

i ^ × i ^ = j ^ × j ^ = k ^ × k ^ = 0

i ^ × j ^ = k ^

i ^ × k ^ = - j ^

j ^ × i ^ = - k ^

j ^ × k ^ = i ^

k ^ × i ^ = j ^

k ^ × j ^ = - i ^

M A = T A D 2,6 - 1,92   j ^ - 1,44   i ^ + T A E 2,8 1,92   j ^ - 2,88   i ^ + 4,32   i ^

M A = - T A D 2,6 1 , 44 - T A E 2,8 2,88 + 4,32 i ^ + - T A D 2,6 1,92 + T A E 2,8 1,92 j ^

E igualando os componentes à 0 temos

- T A D 2,6 1,44 - T A E 2,8 2,88 + 4,3 2 = 0   1

E

- T A D 2,6 1,92 + T A E 2,8 1,92 = 0   2

Passo 3

De (2) nós tiramos

T A D 2,6 1,92 = T A E 2,8 1,92

A gente pode cortar 1,92

T A D = T A E ⋅ 2,6 2,8 = 0,92857 T A E

Agora a gente substitui isso na equação (1)

0,92857 T A E 2,6 1,44 + T A E 2,8 2,88 = 4,32

T A E = 4,32 1,54286 = 2,8   k N

Então

T A D = 0,92857 ⋅ 2,8 = 2,6   k N

Passo 4

Agora a gente pode determinar a força de reação em C usando o somatório das forças em C.

Vamos começar em x

∑ F x = C x + T A D x + T A E x = 0

∑ F x = C x - 0,8 2,6 2,6 + 0,8 2,8 ⋅ 2,8 = 0

Então

C x = 0  

Agora em y

∑ F y = C y + T A D y + T A E y - P y = 0

∑ F y = C y - 0 , 6 2,6 2,6 + 1,2 2,8 ⋅ 2,8 - 3,6 = 0

Então

C y = 0,6 2,6 2,6 - 1,2 2,8 ⋅ 2,8 + 3,6 = 1,8   k N  

E por fim em z

∑ F z = C z + T A D z + T A E z = 0

∑ F z = C z - 2,4 2,6 2,6 - 2,4 2,8 ⋅ 2,8 = 0

Então

C z = 2,4 2,6 2,6 + 2,4 2,8 ⋅ 2,8 = 4,8   k N

Logo

C → = 1,8   j ^ + 4,8   k ^   k N

Resposta

T A E = 2,8   k N

T A D = 2,6   k N

C → = 1,8   j ^ + 4,8   k ^   k N

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →