Enunciado

Determine o momento associado ao par de forças de 400 N aplicado à estrutura em T .

Passo 1

Vamos calcular o momento em torno de O por uma análise escalar, pois é fácil encontrarmos as componentes das forças e as distâncias até o ponto O . Calculamos primeiro as componentes das forças nas direções y e z (as forças não tem componente x ) e então multiplicamos os módulos pelos braços de alavanca. O sinal dos momentos será dado pela regra da mão direita.

Passo 2

Primeiro vamos decompor as duas forças. Vamos chama-las de F A e F B . Os ângulos entre as forças e a vertical são de 15°, então as componentes de F A são:

F A y = 400 cos ⁡ 15 ° = 386,4   N

F A z = 400 sen ⁡ 15 ° = 103,4   N

Não vamos nos preocupar com sinal agora, pois o sinal dos momentos será determinado pela regra da mão direita. As componentes de F B são iguais em módulo:

F B y = 386,4   N

F B z = 103,4   N

Passo 3

Agora vamos calcular o momento para cada uma das três direções: x , y e z . Primeiro para a direção x . As forças F A z e F B z têm linha de força passando pelo eixo x , então não causam momento. As forças F A y e F B y têm mesmo módulo e mesma distância até o eixo x de 0,45 m, e fazem momentos em sentidos contrários em torno de x . Logo os dois momentos se anulam:

M x = 0

Calculamos então o momento para o eixo y . As forças F A y e F B y são paralelas ao eixo, então não causam momento. As forças F A z e F B z têm mesmo módulo 103,4 N e mesma distância até o eixo y , igual a 0,25 m. Além disso, as duas causam momento no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, vemos que esse sentido é o positivo no eixo y , pois quando fechamos os dedos no sentido de giro das forças nosso polegar aponta para cima. Então o momento total no eixo y causado pelas duas forças é:

M y = 103,4 0,25 + 103,4 0,25 = 51,7   N ⋅ m

Agora para o eixo z . As forças F A z e F B z são paralelas ao eixo, então não causam momento. As forças F A y e F B y têm mesmo módulo 346,4 N e mesma distância até o eixo z , igual a 0,25 m. Além disso, as duas causam momento no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, vemos que esse sentido é o negativo no eixo z , pois quando fechamos os dedos no sentido de giro das forças nosso polegar aponta para o sentido contrário de z . Então o momento total no eixo z causado pelas duas forças é:

M z = - 386,4 0,25 - 386,4 0,25 = - 193,2   N ⋅ m

Multiplicando as componentes pelos vetores unitários i ^ , j ^ e k ^ , obtemos o vetor M → O :

M → O = 51,7 j ^ - 193,2 k ^   N ⋅ m

Resposta

M → O = 51,7 j ^ - 193,2 k ^   N ⋅ m

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