Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

62. Resolva o Problema 9.13 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

(a) Da seguinte figura de estado plano, tiramos que:

σ x = 45   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = - 60   M P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o

τ x y = 30   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   1 °   e   3 °   q u a d r a n t e

Passo 2

Como estamos trabalhando com Círculo de Mohr, a primeira coisa a se fazer é determinar o centro do círculo, que é dado por:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   ( C ) = σ m = σ x + σ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes, chega-se à:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = 45   M P a - 60   M P a 2

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = - 7,5   M P a

E em seguida, vamos determinar o raio R do nosso círculo, através da fórmula da tensão de cisalhamento máximo:

R = τ m á x i m o = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocamos as variáveis pelos seus respectivos valores numéricos:

R = τ m á x i m o = 45   M P a - [ - 60   M P a ] 2 2 + ( 30   M P a ) 2

R = τ m á x i m o = 52,5   M P a 2 + ( 30   M P a ) 2

R ≅ 60,467   M P a

Lembremos então, da fórmula das tensões principais, onde obtemos duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2

σ 1,2 = σ m ± R

E como temos o valor de σ m e de R , obtemos então, que:

σ 1 = σ m + R

σ 1 ≅ - 7,5   M P a + 60,467   M P a

σ 1 ≅ 53   M P a

σ 2 = σ m - R

σ 2 ≅ - 7,5   M P a - 60,467   M P a

σ 2 ≅ - 68   M P a

Com isso, já podemos fazer o esboço do nosso círculo:

Agora, falta apenas determinar o ângulo em que o nosso elemento está orientado. Ora bolas, se você olhar para o círculo, verá que o nosso ângulo, que chamaremos de 2 θ p , é dado por:

2 θ p = tan - 1 ⁡ 30 52,5

2 θ p ≅ 29,74 °

θ p ≅ 14,87 °   ( P o s i t i v o → S e n t i d o   A n t i - H o r á r i o )

Como o primeiro ângulo θ p , 1 é igual a θ p , tiramos que:

θ p , 1 ≅ 14,87 °

Passo 3

(b) Bom! Essa letra pede pra gente determinar a tensão máxima de cisalhamento, a tensão média e a orientação do elemento cisalhante.

Mas, olha só já temos a resposta de ao menos dois itens. Afinal a tensão máxima de cisalhamento é o raio do nosso círculo de Mohr e a tensão média é o centro do nosso círculo. Logo, obtemos que:

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = - 7,5   M P a

R = τ m á x i m o ≅ 60,467   M P a

Falta agora, a orientação do nosso elemento cisalhante! Por isso voltemos ao círculo de Mohr.

Olhando essa figura, percebemos que o nosso ânngulo cisalhante 2 θ s que é um ângulo complementar a 2 θ p , é dado por:

2 θ s = tan - 1 ⁡ 52,5 30  

2 θ s = 60,26 °  

θ s ≅ 30,13 °

Como o primeiro ângulo θ s , 1 é igual a θ s , tiramos que:

θ s , 1 ≅ 30,13 °

No caso do ângulo cisalhante, se o valor deu positivo é porque o sentido dessa vez é horário. Duvida? Basta lembrar da fórmula para encontrar 2 θ s :

2 θ s = tan - 1 ⁡ - σ x - σ y 2 τ x y  

Como na circunferência, trabalhamos com distância absoluta o ( - ) da fórmula foi omitido. Por isso, se deu positivo, nesse caso o sentido é horário.

Passo 4

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 53   M P a

σ 2 ≅ - 68   M P a

θ p , 1 ≅ 14,87 °

(b)

C e n t r o   d o   C í r c u l o   C = σ m = - 7,5   M P a

R = τ m á x i m o ≅ 60,467   M P a

θ s , 1 ≅ 30,13 °

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o Problema 7.19 usando o círculo de Mohr.
Para o elemento mostrado, determine o intervalo de valores de τ x y pa
Resolva o problema 7.7 e 7.1 usando círculo de Mohr.
Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de
Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento m