Enunciado

9.99 A caixa d’água AB tem uma tampa hemisférica e é fabricada ocomplaca de aço fina. Se um litro de tinta pode cobrir 3   m 2 da superfície do tanque, determine quantos litros são necessários para cobrir a superfície do tanque de A até B .

Passo 1

Para gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 2 segmentos de reta e um quarto de circunferência:

A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ ∑ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo z , ao centroide da curva de geração.

O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro.

Então, nesse caso, o centroide da reta vermelha é a própria distância do eixo até a reta:

r - v e r m e l h o = 1,6   m

O centroide da reta verde é:

r - v e r d e = 0,2 + 1 , 4 2

r - v e r d e = 0,9   m

E o centroide de um quarto de circunferência é tabelado:

r - a z u l = 2 r π

r - a z u l = 2 1,6 π

r - a z u l = 1 , 019   m

E L é o comprimento da curva de geração, nós já sabemos o tamanho de:

L v e r m e l h o = 1,5   m

O comprimeto da reta verde pode ser calculado por pitagoras:

L v e r d e 2 = 1,4 2 + 1,6 2

L v e r d e = 1,4 2 + 1,6 2

L v e r d e = 2,126

E o comprimento de um quarto de circunferência é:

L a z u l = 1 4 ⋅ 2 π r

L a z u l = 1 4 ⋅ 2 π 1,6

L a z u l = 2,513   m

Passo 2

Agora é só aplicar na fórmula:

A = 2 π 1,6 1,5 + 0,9 2,126 + 1,019 2,513

A = 2 π 6,874

A = 43,2   m 2

E como sabemos que para cada 3   m 2 é necessário 1 litro de tinta. Para pintar o tanque inteiro é necessário:

V t i n t a = A 3

V t i n t a = 43,2 3

V t i n t a = 14 , 4   L

Resposta

V t i n t a = 14,4   L

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