Enunciado

O alpinista de 80 kg é abaixado por sobre a borda do penhasco por seus dois companheiros, que exercem juntos uma força horizontal T de 350 N na corda. Calcule o coeficiente de atrito μ entre a corda e a rocha.

Passo 1

Devemos ser capazes de achar o coeficiente de atrito através da fórmula para o equilíbrio de uma corda em volta de uma superfície, dada por:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da corda, μ o coeficiente de atrito entre a corda e a superfície e β o ângulo total de giro da corda. Como a fórmula não envolve um raio específico, a superfície não precisa ser circular (como numa polia), e esse ângulo β nesse caso é igual a 60 ° .

Passo 2

O alpinista é equilibrado pela tração feita pelos companheiros e pelo atrito da corda com a superfície rochosa, então a tração menor T 1 é a de 350 N feita pelos dois e a tração maior T 2 é a força F que equilibra o homem. Essa força F é descoberta pelo diagrama de corpo livre do alpinista. Temos atuando sobre ele a força peso, a força R aplicada pelo solo e a tração F . Como há três forças atuando no homem, pelo equilíbrio as linhas de ação das três devem passar pelo mesmo ponto, que é o centro de massa G :

A inclinação de F em relação à horizontal é de 60 ° então pela geometria do desenho a de N será então de 30 ° . Então fazemos os equilíbrios vertical e horizontal do homem para encontrar F . Primeiro o horizontal:

∑ F x = 0 ⇒ F cos ⁡ 60 ° - R cos ⁡ 30 ° = 0

⇒ 1 2 F - 3 2 R = 0 ⇒ F 2 = 3 R 2 ⇒ R = 3 F

Agora o vertical, sabendo que a massa do homem é de 80 kg:

∑ F y = 0 ⇒ - P + F sen ⁡ 60 ° + R sen ⁡ 30 ° = 0

⇒ - 80 × 9,81 + 3 2 F + 1 2 R = 0

⇒ - 784,8 + 3 F 2 + R 2 = 0

Substituímos R por 3 F :

- 784,8 + 3 F 2 + 3 F 2 = 0 ⇒ 3 F = 784,8

⇒ F = 784,8 3 = 453   N

Passo 3

Agora que temos todos os valores, substituímos na fórmula do equilíbrio da corda para achar μ :

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Temos T 1 = 350   N , T 2 = 453   N e β = 60 ° = π / 3 . Então:

ln ⁡ 453 350 = π μ 3 ⇒ μ = 3 π ln ⁡ 453 350 = 0,246

Resposta

μ = 0,246

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