Enunciado

O tambor uniforme A com centro de massa na metade de seu comprimento, é suspenso por uma corda que passa sobre a superfície cilíndrica fixa B . O coeficiente de atrito estático entre a corda e a superfície sobre a qual ela passa é μ . Determine o valor máximo que a dimensão a pode ter antes que o tambor tombe, saído da posição horizontal.

Passo 1

No limite de tombamento do tambor, o sistema ainda está em equilíbrio, e o coeficiente de atrito entre a corda e a superfície é μ . A fórmula para o equilíbrio de uma corda enrolada em torno de uma superfície é a seguinte:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da fita e β o ângulo total de contato da fita com a superfície, nesse caso igual a π , o ângulo de meia volta. Através dessa equação acharemos uma relação entre T 2 e T 1 , e então aplicamos as equações de equilíbrio do tambor para determinar a dimensão de a .

Passo 2

Vamos então aplicar a fórmula:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β ⇒ ln ⁡ T 2 T 1 = π μ

Passando para a forma exponencial:

T 2 T 1 = e π μ ⇒ T 2 = T 1 e π μ

Passo 3

Vamos agora representar o tambor em diagrama de corpo livre. Para que o corpo esteja em equilíbrio, o centro de massa deve estar entre as duas extremidades da corda, ou o tambor viraria para um lado. Quando a é grande, a extremidade da esquerda está mais próxima do centro, e então deve ter uma tração maior, pois o braço de alavanca é menor e o momento causado deve ser igual ao da outra extremidade. Então a tração maior T 2 fica na esquerda e a tração menor T 1 fica na direita:

O braço de alavanca para a tração T 2 em relação ao centro é L 2 - a , e o braço de alavanca da tração T 1 é a + D - L 2 . Então fazemos ser zero o momento em torno do centro de massa:

∑ M G = 0 ⇒ T 2 L 2 - a = T 1 a + D - L 2

Substituímos T 2 por T 1 e π μ e depois cortamos T 1 :

T 1 e π μ L 2 - a = T 1 a + D - L 2

⇒ e π μ L 2 - a = a + D - L 2

Resolvendo achamos o valor de a em função de L , D e μ :

L e π μ 2 - a e π μ = a + D - L 2

⇒ L e π μ 2 + L 2 - D = a + a e π μ

⇒ L 1 + e π μ 2 - D = a ( 1 + e π μ )

⇒ a = L 2 - D 1 + e π μ

Resposta

a = L 2 - D 1 + e π μ

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