Enunciado

Assumindo que o eixo do Prob. 7.158 é vazado e que o diâmetro interno é metade do diâmetro externo, determinar o menor diâmetro externo permissível para o eixo.

Passo 1

Fala aí, galera! Essa questão faz um pedido bem simples, achar o diâmetro do nosso eixo! Para fazer isso vamos ter que utilizar a seguinte equação:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Onde J é o momento polar de inércia c é o raio, M o momento fletor e T a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível τ a d m .

Assim, a gente tem que calcular basicamente a torção e o momento fletor no eixo e, portanto, achar as forças que atuam nos pontos A e D , então partiu?

Passo 2

Vamos começar fazendo um desenho do nosso eixo com todas as forças que atuam sobre ele:

Agora vamos partir para as equações da estática.

∑ F x = 0

∑ F z = 0

Repare que não existem forças em y porque não há resistência nessa direção.

Resolvendo:

∑ F x = 0

R 1 x - 4 + R 2 x = 0

R 1 x + R 2 x = 4

Para as forças em z :

∑ F z = 0

R 1 z - Q + R 2 z = 0

R 1 z + R 2 z = Q

Galera, mas quanto vale a força Q ? A gente pode achar essa força calculando o valor do torque na seção B C do eixo. Vamos calcular por cima e por baixo e lembrando também que as forças de reação nos pontos 1 e 2 não produzem torque.

T = F × r

Calculando por cima:

T B C = Q × 0,060

Calculando por baixo:

T B C = 4.10 3 × 0,090 = 360   N . m

Logo,

Q × 0,060 = 360

Q = 6   k N

Assim vamos ter:

R 1 x + R 2 x = 4

R 1 z + R 2 z = 6

Pessoal, lembram que as forças em A e D não produzem torque? Por esse motivo o torque das seções A B e D C é nulo!!

Passo 3

Agora vamos partir para o cálculo dos momentos no eixo. Vamos calcular sempre o momento em relação ao nosso ponto D ok? Onde estão as forças R 2 y e R 2 z .

∑ M x = 0

∑ M y = 0

∑ M z = 0

Para o momento na direção x em relação ao ponto D :

∑ M x D = 0

R 1 z × 0,320 - Q × 0,220 = 0

R 1 z × 0,320 - 6 × 0,220 = 0

R 1 z = 4,125   k N

Agora o momento em z em relação ao ponto D :

∑ M z D = 0  

- R 1 x × 0,320 + 4 × 0,140 = 0

R 1 x = 1,75   k N

Pessoal, podemos parar por aqui! Já que achamos todas as forças que atuam no nosso eixo A B . Olha só!

R 1 z = 4,125   k N

R 1 x = 1,75   k N

R 1 x + R 2 x = 4

R 1 z + R 2 z = 6

Dessas equações a gente vai ter que:

R 2 z = 1,875   k N

R 2 x = 2,25   k N

Passo 4

Agora temos de calcular também os momentos fletores de cada seção. Para isso vamos dividir a nossa figurinha em duas, uma mostrando as forças no eixo x e outra no eixo y .

Para o eixo y :

Calculando o momento fletor nos pontos críticos C e B :

M C = 2,25.10 3 × 0,140 = 315   N . m

M B = 1,75.10 3 × 0,100 = 175   N . m

Para o eixo z :

Calculando o momento fletor nos pontos críticos C e B :

M C = 1,875 . 10 3 × 0,140 = 262,5   N . m

M B = 4,125 . 10 3 × 0,100 = 412,5   N . m

Passo 5

Agora vamos aplicar a relação entre torque e tensão cisalhante que é dada por:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Para isso vamos ter que ver qual ponto C ou B possui o termo M 2 + T 2 maior, testanto:

Para B :

M 2 + T 2 = M z 2 + M y 2 + T 2

Lembrado que a torção em ambos os pontos é igual a 360   N . m

M z 2 + M y 2 + T 2 = 412,5 2 + 175 2 + 360 2 = 574,79

Para C :

M 2 + T 2 = 315 2 + 262,5 2 + 360 2 = 545,65

Logo temos de utilizar o ponto B por possuir o termo de maior valor. Assim vamos obter:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

J c = 574,79 60 × 10 6 = 9,58 × 10 - 6

Além disso a gente tem que lembrar do momento polar de inércia de eixos:

J = π d 4 32

Como o eixo é vazado a gente vai ter:

J = π d e x t 4 32 - π d i n t 4 32

Rescrevendo:

J = π 32 d e x t 4 - d i n t 4

Além disso o problema disse que o diâmetro interno é metade do diâmetro externo:

d e x t = 2 d i n t

Substituindo na equação:

J = π 32 2 d i n t 4 - d i n t 4

J = π 32 16 d i n t 4 - d i n t 4

J = π 32 15 d i n t 4

E

c = d e x t 2 = d i n t

Assim,

J c = 15 π d i n t 3 32

Substituindo:

J c = 9,58 × 10 - 6

15 π d i n t 3 32 = 9,58 × 10 - 6

d i n t = 18,67   m m

Logo o diâmetro externo será:

d e x t = 37,3   m m

Resposta

d e x t = 37,3   m m

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