Enunciado

Um avião executa o loop vertical definido por r 2 = 810 10 3 cos ⁡ 2 θ   m 2 . Se o piloto mantém uma velocidade constante v = 120   m / s ao longo da trajetória, determine a força normal que o assento exerce sobre ele no instante que θ = 0 ° . O piloto tem massa de 75 kg.

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa do piloto: m = 75   k g

Velocidade constante: v = 120   m / s

A questão pede para determinarmos a força normal exercida pelo assento sobre o piloto quando θ = 0 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde W = m g é a força peso e g = 9,81   m / s 2 ;

Passo 2

Sabemos que a trajetória é definida por

r 2 = 810 10 3 cos ⁡ 2 θ   m 2

Para   θ = 0 ° ,   t e m o s   q u e  

r 2 = 810 10 3 cos ⁡ 0 ° = 810 10 3

r = 900   m

Derivando r 2 = 810 10 3 cos ⁡ 2 θ   m 2 em relação a t em ambos os lados, obtemos

2 r r ˙ = - 810 10 3 2 θ ˙ sen ⁡ 2 θ

r ˙ = - 810 10 3 2 θ ˙ sen ⁡ 2 θ 2 r θ = 0 ° = 0   m / s

Derivando novamente em relação a t em ambos os lados, temos que

2 r r ¨ + 2 r ˙ 2 = - 810 10 3 2 θ ¨ sen ⁡ 2 θ - 810 10 3 2 θ ˙ 2 cos ⁡ 2 θ

r ¨ = - 810 10 3 2 θ ¨ sen ⁡ 2 θ - 810 10 3 2 θ ˙ 2 cos ⁡ 2 θ - 2 r ˙ 2 2 r θ = 0 °

r ¨ = - 1800 θ ˙ 2   m / s 2

Passo 3

As componentes radial e transversal da velocidade são dadas por

v r = r ˙ = 0

v θ = r θ ˙ = 900 θ ˙

Sabemos que v = 120   m / s e, analisando o resultado acima, vemos que a componente radial de v   é nula, portanto

v = v θ

120 = 900 θ ˙

θ ˙ = 0,133   r a d / s

Substituindo esse resultado em r ¨ , obtemos

r ¨ = - 32   m / s 2

Passo 4

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 32 - 900 ( 0,133 2 ) = - 47,92   m / s 2

a θ = 0   m / s 2

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

- N - W = m a r

N = - 75 9,81 - 75 ( - 47,92 )

N = 2858,25 N

Resposta

N = 2,86   k N

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