Enunciado

A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída mostrada. Determine a maior intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média na seção b - b ultrapasse σ =   15   M P a e   τ   =   16   M P a , respectivamente. O elemento C B tem seção transversal quadrada de 30   m m de lado.

Passo 1

Fala aí meus camaradas, tudo bem por aí? Preparados pra mais uma questãozinha marota?

Vamos lá, primeiramente vamos definir o que desejamos nessa questão: queremos estimar um valor máximo para w de tal forma que as tensões de cisalhamento e normal não ultrapassem os valores estipulados pelo enunciado.

Bora deixar anotado aqui os dados fornecidos no enunciado de acordo com a notação que vamos adotar, então, temos

σ a d m = 15   M P a

τ a d m = 16   M P a

a = 4 m   /   b = 3 m

A = 0,030   m 2

Além disso, como a geometria do problema traz um triângulo é natural pensarmos no teorema de pitágoras para achar algumas medidas úteis para nossa peça. Então fazemos:

c = a 2 + b 2 = 3 2 + 4 2 = 5

Belezinha! A ideia aqui é a gente achar uma expressão paras tensões na seção b - b em função de w , e comparar com as tensões admissíveis, tá bem? Aí a gente acha w . Bora ver como fazer isso!

Passo 2

Nós temos ali uma carga distribuída, certo? Primeira coisa a fazer é substituir ela por uma carga concentrada equivalente. Aí essa carga é igual a área da carga distribuída, ou seja

P = w ⋅ 3 = 3 w   k N

E ela está no meio da barra A B .

Agora a gente precisa resolver essa estrutura aí, encontrando os esforços que passam pela seção b - b .

Olha o que está acontecendo num DCL.

Percebe que a gente só precisa achar o esforço que atua em C B . E pelo desenho, a gente vê que ele vai ser igual a F c , a força de reação no ponto C , por causa do equilíbrio de forças interno dessa barrinha C B .

Além disso, para finalizar a etapa de pré-cálculo do problema, vamos decompor a força em C , para facilitar nossas continhas, em um componente vertical e um horizontal dados por

F c y = F c ⋅ s e n θ = 3 5 F c

F c x = F c ⋅ c o s θ = 4 5 F c

Sendo θ o ângulo em C .

Passo 3

Aí a gente quer uma expressão para F c , né? Pensa comigo. Se a gente usar o somatório de momentos em A , a gente a acha direitinho, sem se preocupar com F A . Bora fazer isso!

∑ M A = 0

Adotando o sentido anti-horário como positivo vamos ter

  - 3 w ⋅ 1,5 - 4 F c y = 0

- 4,5   w - 4 F c y = 0

F c y = - 1,125 w   k N

Daí, como encontramos a componente vertical da força de reação, podemos encontrar o módulo:

F c y = F c s e n θ

1,125 w = 3 5 F c

F c = 1,875 w

E com ela encontrar a componente horizontal:

F c x = 4 5 F c = - 1,5   w   k N

Essa força será negativa, pois aponta para a esquerda. Com isso, temos nossas forças de reação como:

F c x = - 1,5 w k N

F c y = - 1,125 w k N

Passo 4

Esses já são os valores numéricos dos nossos esforços na barra, por causa do equilíbrio interno, lembra? Então, fazendo um esqueminha para ver melhor, nossa barra está assim:

Quem vai gerar esforço normal a nossa seção b - b vai ser a força amarelinha, então:

N = 1,125 w   k N

E quem vai gerar o esforço paralelo a essa seção é a força verde,

V = 1,5 w   k N

Uhul, achamos os esforços!

(Obs.: Como a seção b - b está na horizontal, não precisamos decompor as forças na direção da barra, para encontrar os esforços na seção dada, nos importamos com a direção da seção e não com a direção da barra, por isso que a força normal a seção é a força N e a força paralela à seção será a força V .)

Passo 5

Achamos a área da nossa seção usando trigonometria também, porque ela está inclinada em relação a seção transversal da barra. Vamos fazer um desenho para entender o que está acontecendo:

A gente tem que nessa figura, A b é a hipotenusa de θ e A o cateto oposto dela, então:

s e n   θ = A A b → A b = A s e n   θ

E o seno do ângulo, pode ser encontrado fazendo cateto oposto sobre hipotenusa:

s e n θ = 3 5

A b - b = 0,030 2 3 / 5 = 0,00 15   m 2

Dessa forma vamos obter as seguintes tensões normal e de cisalhamento

σ b - b = N b - b A b - b = 1,125 w × 10 3 0,0015   = 0,75   w   M P a

τ b - b = V b - b A b - b = 1,5 w   × 10 3 0,0015 =   1   w   M P a  

Passo 6

A parte mais difícil a gente já encarou, agora tá bem suave se liga aí. Agora é comparar essas tensões que a gente achou com as tensões admissíveis e achar w . Assim:

σ a d m = σ b - b

15 ⋅ 10 6 = 0,75     w ⋅ 10 6

w = 20   N / m

τ a d m = τ b - b

16 ⋅ 10 6   = 1   w ⋅ 10 6

w = 16   N / m

Aí a gente escolhe a menor, já que a carga de 20   N / m causaria uma tensão cisalhante τ b - b   maior do que a admissível. Então nossa resposta final é o segundo w .

Resposta

w p e r m i t i d o = 16   N / m

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