Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática - 12ªEd - Capítulo 3.Problemas - Ex. 49

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desse livro

Os cabos AB e AC podem suportar uma tração máxima de 500   N , e o poste pode suportar uma compressão máxima de 300   N . Determine o peso máximo da luminária que pode ser mantida suspensa na posição mostrada na figura. A força no poste atua ao longo de seu eixo.

Passo 1

Oi pessoal? Vamos para mais um exercício?

A condição de equilíbrio em A é de que o somatório das forças deve ser nulo. Portanto:

∑ F → = 0

W → + F A B → + F A C → + F O A → = 0

Sabemos que o vetor força é dado pelo produto entre a intensidade da força e o vetor direção unitário relacionado a ele.

Temos que:

O A → = 2 i - 1,5 j + 6 k - 0 i + 0 j + 0 k

O A → = 2 i - 1,5 j + 6 k

A B → = - 4 i + 1,5 j + 0 k - 2 i - 1,5 j + 6 k

A B → = - 6 i + 3 j - 6 k

A C → = 0 i + 1,5 j + 0 k - 2 i - 1,5 j + 6 k

A C → = - 2 i + 3 j - 6 k

Passo 2

Agora podemos encontrar o vetor força de cada elemento:

F O A → = F O A ⋅ 2 i - 1,5 j + 6 k 2 2 + - 1,5 2 + 6 2

F O A → = F O A ⋅ 0,308 i - 0,231 j + 0,923 k

Para A B , temos:

F A B → = F A B ⋅ - 6 i + 3 j - 6 k - 6 2 + 3 2 + - 6 2

F A B → = F A B ⋅ - 0,667 i + 0,333 j - 0,667 k

E para A C , temos:

F A C → = F A C ⋅ - 2 i + 3 j - 6 k - 2 2 + 3 2 + - 6 2

F A C → = F A C ⋅ - 0,286 i + 0,428 j - 0,857 k

Passo 3

Como dito anteriormente, nossa condição de equilíbrio é de que:

W → + F A B → + F A C → + F O A → = 0

E também possuímos uma condição de projeto de que os cabos A B   e   A C podem suportar uma tração máxima de 500   N , e o poste pode suportar uma compressão máxima de 300   N .

Vamos testar para F O A = 300   N

Temos que:

F O A → = F O A ⋅ 0,308 i - 0,231 j + 0,923 k

F O A → = 300 ⋅ 0,308 i - 0,231 j + 0,923 k

F O A → = 92,4 i - 69,3 j + 276,9 k

Portanto:

F A B ⋅ - 0,667 i + 0,333 j - 0,667 k + F A C ⋅ - 0,286 i + 0,428 j - 0,857 k + 92,4 i - 69,3 j + 276,9 k + - W k = 0

Rearranjando, temos que:

- 0,667 F A B - 0,286 F A C + 92,4 i i + 0,333 F A B + 0,428 F A C - 69,3 j + - 0,667 F A B - 0 , 857 F A C + 276,9 - W k = 0

Temos então 3 equações:

- 0,667 F A B - 0,286 F A C + 92,4 i = 0

0,333 F A B + 0,428 F A C - 69,3 = 0

- 0,667 F A B - 0,857 F A C + 276,9 - W = 0

Fazendo um sistema com essas equações temos que:

W = 138,11   N

F A B = 103,7   N

F A C = 81,23   N

Estas condições são satisfatórias ao projeto. Se você testar para F A B = 500   N ou F A C = 500   N , vai ver que as condições de projeto não estarão aceitáveis. Portanto esta é a única resposta.

Resposta

F O A = 300   N

W = 138,11   N

F A B = 103,7   N

F A C = 81,23   N

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