Enunciado

Cada um dos suportes de pouso de uma espaçonave de exploração de planetas é projetado como uma treliça espacial simétrica em relação ao plano x-z vertical, conforme mostrado. Para uma força de aterrissagem F = 2,2 kN, calcule a força correspondente no membro BE. A suposição de equilíbrio estático para a treliça é permitida se a massa da treliça for muito pequena. Assuma cargas iguais nos membros posicionados simetricamente.

Passo 1

Uma vez que a treliça e o carregamento são simétricos ao plano xOz, as forças nos membros AE e AF são iguais, bem como as forças nos membros BE (BD) e BF (BC)

Podemos escrever o vetor de força A E → como um produto de sua magnitude AE e um vetor unitário de direção de força n A E →

A E → = A E n A E →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e E são

A 1.2 ,   0 ,   0

E 0 ,   - 0.4 ,   0.9

Passo 2

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n A E → como

n A E → = A E → A E -

= X E - X A i → + Y E - Y A j → + Z E - Z A k → X E - X A 2 + Y E - Y A 2 + Z E - Z A 2

= 0 - 1.2 i → + - 0.4 - 0 j → + 0.9 - 0 k → 0 - 1.2 2 + - 0.4 - 0 2 + 0.9 - 0 2 = 1.2 i → - 0.4 j → + 0.9 k → 1.2 2 + 0.4 2 + 0.9 2

= - 0.773 i → - 0.258 j → + 0.580 k →

A E → = A E - 0.773 i → - 0.258 j → + 0.580 k →

Podemos escrever o vetor de força A F → como um produto de sua magnitude AF e um vetor unitário de direção de força n A F →

A F → = A F n A F →

Passo 3

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e F são

A 1.2 ,   0 ,   0

E 0 ,   0.4 ,   0.9

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n A F → como

n A F → = A F → A F - = X F - X A i → + Y F - Y A j → + Z F - Z A k → X F - X A 2 + Y F - Y A 2 + Z F - Z A 2

= 0 - 1.2 i → + 0.4 - 0 j → + 0.9 - 0 k → 0 - 1.2 2 + 0.4 - 0 2 + 0.9 - 0 2 = - 1.2 i → - 0.4 j → + 0.9 k → 1.2 2 + 0.4 2 + 0.9 2

= - 0.773 i → + 0.258 j → + 0.580 k →

A F → = A F - 0.773 i → + 0.258 j → + 0.580 k →

Passo 4

Podemos escrever o vetor de força A F → como um produto de sua magnitude AB e um vetor unitário de direção de força n A B →

A B → = A B n A B →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e B são

A 1.2 ,   0 ,   0

B 0.9 ,   0 ,   1.4

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n A B → como

n A B → = A B → A B - = X B - X A i → + Y B - Y A j → + Z B - Z A k → X B - X A 2 + Y B - Y A 2 + Z B - Z A 2

= 0.9 - 1.2 i → + 0 - 0 j → + 1.4 - 0 k → 0.9 - 1.2 2 + 0 - 0 2 + 1.4 - 0 2 = - 0.3 i → - 0 j → + 1.4 k → 0.3 2 + 0 2 + 1.4 2

= - 0.210 i → + 0.000 j → + 0.978 k →

A B → = A B - 0.210 i → + 0.000 j → + 0.978 k →

Passo 5

Podemos notar que a força de 2,2 kN é paralela ao eixo z, portanto, podemos escrevê-la como

F → = 0 i → + 0 j → + 2.2 k →   kN

Ao analisar a junta A, podemos determinar o membro de força AB

Presumimos que todos os membros estão em tensão

∑ F = 0

A E → + A F → + A B → + F → = 0

A E - 0.773 i → - 0.258 j → + 0.580 k → + A F - 0.773 i → + 0.258 j → + 0.580 k → +

A B - 0.210 i → + 0 j → + 0.978 k → + 0 i → + 0 j → + 2.2 k → = 0

- 0.773 A E - 0.773 A F - 0.210 A B i → + - 0.258 A E + 0.258 A F j → +

+ 0.580 A E + 0.580 A F + 0.978 A B + 2.2 k → = 0

Agora temos três equações de equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.773 A E - 0.773 A F - 0.210 A B = 0                 ( 1 )

∑ F Y = 0

- 0.258 A E + 0.258 A F = 0                 ( 2 )

∑ F Z = 0

0.258 A E - 0.580 A F - 0.978 A B + 2.2 = 0                 ( 3 )

Passo 6

Uma vez que as forças AE e AF são iguais, podemos escrever a equação (1) como

- 1.546 A E - 0.210 A B = 0                 ( 1 )

Podemos expressar as forças AE e AF em função de AB

A E = A F = - 0.210 1.546 A B

A E = A F = - 0.136 A B

Agora podemos substituir AE e AF por - 0,136AB na equação (3), a fim de determinar a força no membro AB

0.580 A E + 0.580 A F + 0.978 A B + 2.2 = 0                 ( 3 )

0.580 - 0.136 A B + 0.580 - 0.136 A B + 0.978 A B + 2.2 = 0 = 0

0.820 A B + 2.2 = 0

A B = - 2.2 0.820

A B = - 2.683   kN

Passo 7

Agora podemos escrever o vetor A B → como

A B → = - 2.683 - 0.210 i → + 0.000 j → + 0.978 k →   kN

A B → = 0.563 i → + 0.000 j → - 2.624 k →   kN

Observe que o vetor B A → é oposto ao vetor A B → , então podemos escrevê-lo como

A B → = - 0.563 i → + 0.000 j → + 2.624 k →   kN

Ao analisar a junta B e usando simetria, podemos determinar a força no membro BE

Passo 8

Mais uma vez, assumimos que todos os membros estão em tensão

Podemos escrever o vetor de força B C → como um produto de sua magnitude BC e um vetor unitário de direção de força n B C →

B C → = B C n B C →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos B e C são

B 0.9 ,   0 ,   1.4

C 0 ,   0.4 ,   1.9

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B C →   como

n B C → = B C → B C -

= X C - X B i → + Y C - Y B j → + Z C - Z B k → X C - X B 2 + Y C - Y B 2 + Z C - Z B 2

= 0 - 0.9 i → + 0.4 - 0 j → + 1.9 - 1.4 k → 0 - 0.9 2 + 0.4 - 0 2 + 1.9 - 1.4 2

= - 0.9 i → + 0.4 j → + 0.5 k → 0.9 2 + 0.4 2 + 0.5 2

= - 0.815 i → + 0.362 j → + 0.453 k →

B C → = B C - 0.815 i → + 0.362 j → + 0.453 k →

Podemos escrever o vetor de força B D → como um produto de sua magnitude BD e um vetor unitário de direção de força n B D →

B D → = B D n B D →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos B e D são

B 0.9 ,   0 ,   1.4

D 0 ,   - 0.4 ,   1.9

Passo 9

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B D → como

n B D → = B D → B D -

= X D - X B i → + Y D - Y B j → + Z D - Z B k → X D - X B 2 + Y D - Y B 2 + Z D - Z B 2

= 0 - 0.9 i → + - 0.4 - 0 j → + 1.9 - 1.4 k → 0 - 0.9 2 + - 0.4 - 0 2 + 1.9 - 1.4 2

= - 0.9 i → - 0.4 j → + 0.5 k → 0.9 2 + 0.4 2 + 0.5 2

= - 0.815 i → - 0.362 j → + 0.453 k →

B D → = B D - 0.815 i → - 0.362 j → + 0.453 k →

Podemos escrever o vetor de força B E → como um produto de sua magnitude BE e um vetor unitário de direção de força n B E →

B E → = B E n B E →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos B e E são

B 0.9 ,   0 ,   1.4

E 0 ,   - 0.4 ,   0.9

Passo 10

Uma vez que sabemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B E → como

n B E → = B E → B E -

= X E - X B i → + Y E - Y B j → + Z E - Z B k → X E - X B 2 + Y E - Y B 2 + Z E - Z B 2

= 0 - 0.9 i → + - 0.4 - 0 j → + 0.9 - 1.4 k → 0 - 0.9 2 + - 0.4 - 0 2 + 0.9 - 1.4 2

= - 0.9 i → - 0.4 j → - 0.5 k → 0.9 2 + 0.4 2 + 0.5 2

= - 0.815 i → - 0.362 j → - 0.453 k →

B E → = B E - 0.815 i → - 0.362 j → - 0.453 k →

Podemos escrever o vetor de força B F → como um produto de sua magnitude BF e um vetor unitário de direção de força n B F →

B F → = B F n B F →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos B e F são

B 0.9 ,   0 ,   1.4

E 0 ,   0.4 ,   0.9

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B F → como

n B F → = B F → B F -

= X F - X B i → + Y F - Y B j → + Z F - Z B k → X F - X B 2 + Y F - Y B 2 + Z F - Z B 2

= 0 - 0.9 i → + 0.4 - 0 j → + 0.9 - 1.4 k → 0 - 0.9 2 + 0.4 - 0 2 + 0.9 - 1.4 2

= - 0.9 i → + 0.4 j → - 0.5 k → 0.9 2 + 0.4 2 + 0.5 2

= - 0.815 i → + 0.362 j → - 0.453 k →

B F → = B F - 0.815 i → + 0.362 j → - 0.453 k →

Passo 11

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

B C → + B D → + B E → + B F → + B A → = 0

B C - 0.815 i → + 0.362 j → + 0.453 k → + B D - 0.815 i → - 0.362 j → + 0.453 k → +

B E - 0.815 i → - 0.362 j → - 0.453 k → + B F - 0.815 i → + 0.362 j → - 0.453 k → +

- 0.563 i → + 0.000 j → + 2.624 k → = 0

- 0.815 B C - 0.815 B D - 0.815 B E - 0.815 B F - 0.563 i → +

+ 0.362 B C - 0.362 B D - 0.362 B E + 0.362 B F j → +

+ 0.453 B C + 0.453 B D - 0.453 B E - 0.453 B F + 2.624 k → = 0

Agora temos três equações de equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.815 B C - 0.815 B D - 0.815 B E - 0.815 B F - 0.563 = 0                 ( 4 )

∑ F Y = 0

0.362 B C - 0.362 B D - 0.362 B E + 0.362 B F = 0                 ( 5 )

∑ F Z = 0

0.453 B C + 0.453 B D - 0.453 B E - 0.453 B F + 2.624 = 0                 ( 6 )

Passo 12

Uma vez que sabemos por simetria que as forças BC e BD são iguais, bem como as forças BE e BF, podemos escrever a equação (4) como

- 1.63 B C - 1.63 B E - 0.563 = 0

Multiplicando-o por 0.906 1.63 , teremos

- 0.906 B C - 0.906 B E - 0.313 = 0                 ( 7 )

Também podemos escrever a equação (6) como

0.906 B C - 0.906 B E + 2.624 = 0                 ( 8 )

Finalmente, adicionando as equações (7) e (8), podemos determinar a força BE

7 + 8 = - 1.812 B E + 2.311 = 0

B E = 2.311 1.812

B E = 1.275   kN T

Resposta

B E = 1.275   kN T

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na representação esquemática de uma estrutura real, T representa um esticador, C e D são dobradiças que não suportam escora, cujos eixos estão ao longo da linha CD, e B, E e F são articulações esféric
Determine a força em cada membro da carga treliça.
O aparelho de suporte para uma linha de energia para um trem de trânsito rápido é mostrado. Se houver uma tensão de 500 lb no cabo EDF, determine a força F suportada pelo parafuso em B.
Uma estrutura projetada para testar a resistência à compressão de blocos de concreto é composta por quatro almofadas de pressão, os quatro elos de compressão e os três elos externos dispostos em um qu
Cada uma das plataformas horizontais de um rack de armazém tem uma massa de 20 kg e carrega uma caixa de 180 kg localizada no centro. As plataformas são suportadas por membros de duas forças de massa