Enunciado

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O funicular é constituído por duas cabines de passageiros, cada uma com massa m , uma em cada extremidade do cabo de comprimento total L e massa ρ por uma unidade de comprimento. O sistema é operado pela aplicação de um torque M ao tambor de raio r no topo da via férrea. Várias voltas do cabo em torno do tambor evitam o escorregamento, e o comprimento do cabo em torno do tambor pode ser desprezado em comparação com L . Se as cabines partem do repouso em x = 0 com M constante, desenvolva uma expressão para a velocidade v de cada cabine para um determinado valor de x . Despreze a massa do tambor e todo atrito.

Passo 1

A grande dificuldade dessa questão está no fato de que o cabo também tem peso! Quando formos considerar a energia potencial gravitacional de um cabo, vamos utilizar o seguinte:

U = ρ L g h

Onde L é o comprimento do trech e h é a altura do centro de massa do cabo em relação ao zero da energia potencial.

E por conveniência vamos dizer que o zero da energia potencial está na altura do tambor.

Passo 2

O enunciado diz que o sistema começa com x = 0 , então a energia potencial gravitacional inicial é:

U 0 = U c a b i n e s + U c a b o s

U 0 = - 0 + m g L sen ⁡ θ - 0 + ρ g   L L 2 sen ⁡ θ

Nesse caso L 2 sen ⁡ θ era a altura do centro de massa do cabo mais longo quando x = 0 . Vamos continuar seguindo essa mesma lógica para montar as próximas expressões.

Olhando de novo para a figura do enunciado, quando temos algum x ≠ 0 a energia potencial é:

U = U c a b i n e s + U c a b o s

U c a b i n e s = - g sen ⁡ θ m L - x + m x  

U c a b o s = - g sen ⁡ θ ρ L - x L - x 2 + ρ   x x 2  

E então:

U = - g sen ⁡ θ m L - m x + m x + ρ 2 L - x 2 + x 2

U = - g sen ⁡ θ m L + ρ 2 L - x 2 + x 2

E então a variação da energia potencial é:

Δ U = U - U 0

Δ U = - g sen ⁡ θ m L + ρ 2 L - x 2 + x 2 - m L - ρ L 2 2

Δ U = - g sen ⁡ θ m L + ρ 2 L 2 - ρ L x + ρ x 2 - m L - ρ 2 L 2

Δ U = - g sen ⁡ θ - ρ L x + ρ x 2

Δ U = - g sen ⁡ θ ρ x 2 - L x

Passo 3

Considerando que o sistema parte do repouso, a energia cinética inicial é:

T 0 = 0

E a partir daí temos:

Δ T = T - T 0 = T

E como todas as partes do sistema se movem com a mesma velocidade:

Δ T = 1 2 2 m v 2 + 1 2 ( ρ L ) ( v 2 )

Então a variação da energia total do sistema é:

Δ E = Δ T + Δ U

Δ E = 1 2 2 m + ρ L v 2 - g sen ⁡ θ ρ x 2 - L x

E nesse caso a variação da energia não é zero, porque existe um torque M agindo sobre o sistema e realizando trabalho.

M = F   .   r

Δ E = W = F   .   x

Δ E = M x r

Então:

M x r = 1 2 2 m + ρ L v 2 - g sen ⁡ θ ρ x 2 - L x

Passo 4

Agora é só resolver essa equação para encontrar a velocidade:

M x r = 1 2 2 m + ρ L v 2 - g sen ⁡ θ ρ x 2 - L x

1 2 2 m + ρ L v 2 = M x r + g ρ x sin ⁡ θ ( x - L )

v 2 = 2 2 m + ρ L M x r + g ρ x sin ⁡ θ x - L

E então a velocidade é:

v = 2 2 m + ρ L M x r + g ρ x sin ⁡ θ x - L

Resolvido!

Resposta

A velocidade de cada cabine é v = 2 2 m + ρ L M x r + g ρ x sin ⁡ θ x - L .

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