Enunciado

O vetor posição de um ponto que se move no plano x - y é dado por

r = 2 3 t 3 - 3 2 t 2 i + t 4 12   j

onde r é expresso em metros e t é expresso em segundos. Determine o ângulo entre a velocidade v e a aceleração a quando

(a) t = 2   s e

(b) t = 3   s .

Passo 1

(a) Galera, se a gente derivar a expressão de r , podemos achar as expressões vetoriais da velocidade e da aceleração, olha só:

r = 2 3 t 3 - 3 2 t 2 i + t 4 12   j

v = r ' = 2 t 2 - 3 t   i + t 3 3   j

a = v ' = 4 t - 3   i + t 2   j

Substituindo o valor de t = 2   s , temos:

v = 2   i + 8 3   j

a = 5   i + 4   j

Passo 2

Beleza! Agora, para calcular o ângulo θ que os vetores velocidade e aceleração fazem entre si, será útil primeiro calcular os ângulos θ v e θ a que cada vetor faz com o eixo x quando t = 2   s . Olha só:

t g   θ v = v y v x                     e                     t g   θ a = a y a x

t g   θ v = 8 / 3 2 ≈ 1,333

θ v = t g - 1 1,333 ≈ 53,1 °

Analogamente, achamos θ a :

t g   θ a = 4 5 = 0,8

θ a = t g - 1 0,8 ≈ 38,7 °

Finalmente, para obter θ , basta subtrair os dois ângulos encontrados:

θ = θ v - θ a = 1 4 , 4 °

Passo 3

(b) Para t = 3   s , fazemos de maneira bastante análoga.

Lembre-se que temos as seguintes expressões:

v = 2 t 2 - 3 t   i + t 3 3   j

a = 4 t - 3   i + t 2   j

Substituindo t = 3   s , temos:

v = 9   i + 9   j

a = 9   i + 9   j

Ou seja,

t g   θ v = t g   θ a = 9 9 = 1

⇒ θ v = θ a = 45 °

⇒ θ = 0 °

Resposta

(a) 14,4 °

(b) 0 °

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