Enunciado

Uma chapa quadrada e uniforme de aço com 360   m m de comprimento de aresta e uma massa de 15   k g está suspensa no plano horizontal pelos três fios verticais, como mostrado. Calcule a força trativa em cada fio.

Passo 1

Vamos começar definindo os eixos x , y e z e representando as forças envolvidas:

Se a placa está em equilíbrio nessa posição, os momentos totais em relação a cada eixo devem ser nulos.

∑ M x = ∑ M y = ∑ M z = 0

Então precisamos encontrar expressões para cada um desses momentos.

Passo 2

Como todas as forças já são paralelas ao eixo z , o momento resultante ∑ M z já é nulo:

∑ M z = 0

Agora vamos dar uma olhada no momento em relação ao eixo x . Temos que multiplicar cada força pela sua distância perpendicular até o eixo x :

∑ M x = T A 120 + T B 0 + T C 240 + 120 - P 180

E o sinal negativo aparece no momento da força P porque ela favorece a rotação no sentido contrário às outras forças.

Fazendo a mesma coisa para o momento em relação ao eixo y encontramos o seguinte:

∑ M y = T A 180 + 180 + T B 0 + T C 180 - P ( 180 )

Agora vamos igualar todas essas expressões a zero, já que essa é a condição de equilíbrio:

T A 120 + T B 0 + T C 240 + 120 - P 180 = 0

T A 180 + 180 + T B 0 + T C 180 - P 180 = 0

Arrumando um pouco ficamos com um sistema de duas equações e duas variáveis desconhecidas:

120 T A + 360 T C = 180 P 360 T A + 180 T C = 180 P

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema:

120 T A + 360 T C = 180 P 360 T A + 180 T C = 180 P

Uma forma de fazer isso é multiplicar a segunda linha por 2 , e subtraí-la da primeira:

120 T A + 360 T C - 2 360 T A + 180 T C = 180 P - 2 ( 180 P )

120 - 720 T A + 360 - 360 T C = 180 - 360 P

- 600 T A = - 180 P

Onde P = m g = 15 9,81 = 147,15   N , então:

T A = 180 600 147,15 = 44,14   N

E agora é só substituir esse valor em qualquer uma das equações para encontrar T C :

120 ( 44,14 ) + 360 T C = 180 ( 147,15 )

T C = 73,36   N

Passo 4

Ainda falta encontrar T B , mas para isso vamos precisar de outra equação de equilíbrio. Já analisamos o equilíbrio dos momentos, vamos ver agora o equilíbrio das forças:

∑ F z = 0

∑ F = T A + T B + T C - P

T A + T B + T C - P = 0

44,14 + T B + 73,36 - 147,15 = 0

T B = 29,65   N

Resposta

As forças são T A = 44,14   N , T B = 29,65   N e T C = 73,36   N .

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