Enunciado

Uma das paredes verticais que apoiam a extremidade B do eixo uniforme de 200   k g do exemplo 3 / 5 é girada de um ângulo de 30 ° , como mostrado aqui. A extremidade A permanece ainda apoiada por uma rótula no plano horizontal x - y . Calcule os módulos das forças P → e R → exercidas na extremidade esférica B do eixo pelas paredes verticais C e D , respectivamente.

Passo 1

Vamos começar escrevendo expressões para as forças R → e P → que as paredes exercem sobre o eixo. A força P vem da parede C , e é perpendicular à superfície, então:

P → = P   j ^

Já a força R → vem da parede D , e forma um ângulo de 30 ° conforme mostrado na figura, então:

R → = R   cos ⁡ 30 °   i ^ + sen ⁡ 30 ° j ^

Além disso temos o peso W → do eixo, que atua no seu ponto médio (a 3,5   m do ponto A ):

W → = - 200 9,81 k ^ = - 1962   k ^   N

E também temos uma força normal N → A que atua sobre a esfera apoiada no ponto A .

Passo 2

Para que o eixo esteja em equilíbrio é preciso que os momentos e as forças resultantes seja nulos. Vamos escrever uma equação de equilíbrio que facilite a nossa conta.

∑ M → = 0

Se calcularmos o momento em relação ao ponto A , por exemplo, a força N → A (que é desconhecida) vai sumir da equação, e só vão sobrar as forças R → , P → e W → :

∑ M → A = r → 1 × W → + r → 2 × R → + r → 3 × P → = 0

Onde os vetores r → são as posições do ponto de atuação de cada força em relação ao ponto A . Como as forças R → e P → atuam no mesmo ponto:

r → 2 = r → 3 = r →

E precisamos escrever cada um desses vetores:

r → = - 2   i ^ - 6 j ^ - h   k ^

Onde h é a seguinte altura:

Que a gente pode calcular usando o teorema de pitágoras:

h 2 = 7 2 - 6 2 + 2 2 = 3

Então:

r → = - 2   i ^ - 6 j ^ + 3   k ^

E o outro vetor r → 1 é o que liga o ponto A ao centro de massa do eixo:

Como o centro de massa está exatamente na metade do eixo:

r → 1 = - 1   i ^ - 3 j ^ + 1,5   k ^

E agora já temos tudo para resolver os produtos vetoriais.

Passo 3

Vamos voltar na nossa equação de equilíbrio:

r → 1 × W → + r → 2 × R → + r → 3 × P → = 0

r → 1 × W → + r → × R → + P → = 0

Primeiro vamos resolver a soma de vetores que está entre parênteses:

R → + P → = R   cos ⁡ 30 °   i ^ + sen ⁡ 30 ° j ^ + P   j ^

R → + P → = 3 R 2 i ^ + R 2 + P j ^

E agora vamos substituir tudo na equação principal:

- 1   i ^ - 3 j ^ + 1,5   k ^ × - 1962   k ^ + - 2   i ^ - 6 j ^ + 3   k ^ × 3 R 2 i ^ + R 2 + P j ^ = 0

Cada um desses produtos vetoriais pode ser escrito como o determinante de uma matriz, então:

i ^ j ^ k ^ - 1 - 3 1,5 0 0 - 1962 + i ^ j ^ k ^ - 2 - 6 3 3 R / 2 P + R / 2   0 = 0

- 3 - 1962 i ^ - - 1 - 1962 j ^ +   3 3 R 2 j ^ - 2 P k ^ - R   k ^ + 3 3 R k ^ - 3 P   i ^ - 3 R 2 i ^ = 0

E agora queremos que cada componente se anule, então:

5886 - 3 P - 3 R 2 = 0

3 3 R 2 - 1962 = 0

- 2 P + 3 3 R - R = 0

Agora podemos resolver esse sistema para encontrar as duas variáveis. Pela segunda equação temos:

R = 2 1962 3 3 = 755   N

E substituindo isso na primeira equação:

5886 - 3 P - 3 ( 755 ) 2 = 0

P = 1584   N

Resolvido! Nem precisamos usar a terceira equação!

Resposta

As duas forças são R = 755   N e P = 1584   N .

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