Enunciado

Dados os três vetores não nulos A , B e C , mostre que se A ∙ B × C = 0 , os três vetores necessitam estar no mesmo plano.

Passo 1

Para representar os vetores, pode-se fazer um desenho tal que:

Passo 2

Assim, para determinar a intensidade do produto triplo escalar deve-se aplicar o módulo no mesmo. Com isso, tem-se que:

A ∙ B × C = A B × C cos ⁡ θ

= A cos ⁡ θ B × C

Passo 3

Pelo desenho, podemos observar um valor que pode ser substituído na última equação:

A cos ⁡ θ B × C = h B × C

Como B × C representa o valor absoluto do produto vetorial, ele pode ser substituído pelo seu equivalente, ou seja:

h B × C = h B C   s e n   ϕ

Essa equação representa o volume do paralelepípedo.

Dessa forma, caso A ∙ B × C = 0 , o volume do paralelepípedo é nulo, o que significa que os vetores A , B e C são coplanares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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