Enunciado

Determine a área da superfície e o volume do sólido girando-se a área sombreada 360° em torno do eixo z .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão basicamente de aplicação direto na fórmula. Precisamos determinar tanto a área da superfície quanto o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a área sombreada em 360 ° = 2 π .

Temos um sólido composto por alguns formatos. Portanto, esses valores serão expressos pelas seguintes equações:

A = θ ∑ r ~ L V = θ ∑ r ~ A

E agora vamos para as contas!

Passo 2

Vamos começar calculando a área da superfície.

A nossa seção é composta por quatro partes: duas linhas horizontais (superior e inferior), uma linha vertical (que rotacionada gera um cilindro) e uma linha inclinada (que rotacionada gera um tronco de cone).

Relembrando, r ~ corresponde a distância perpendicular do eixo de rotação até o centroide de cada seção, então, temos que identificar o seu valor para cada uma das partes analisadas.

Para a linha vertical, temos r ~ v = 15   m m . Já para a parte inclinada, temos: r ~ i = 15 + 15 ⋅ 1 2 = 22,5   m m . E em relação as linhas horizontais, temos r ~ h , t o p o = 7,5   m m e r ~ h , b a s e = 15   m m

Agora é só substituirmos os valores na fórmula! Portanto,

A = θ ∑ r ~ L

A = 2 π r ~ h , t o p o L h , t o p o + r ~ v L v + r ~ i L i + r ~ h , b a s e L h , b a s e

A = 2 π 7,5 ⋅ 15 + 15 ⋅ 18 + 22,5 ⋅ 25 + 15 ⋅ 30

A = 2790 π   m m 2

Passo 3

Agora é só repetirmos o mesmo procedimento, só que para o volume.

Aqui podemos dividir a área em duas partes: um retângulo de medidas 15   m m × 38   m m e um triângulo retângulo de lados 20   m m × 15   m m .

Então, o volume será:

V = θ ∑ r ~ A

V = 2 π r ~ r e t â n g u l o A r e t â n g u l o + r ~ t r i â n g u l o A t r i â n g u l o

V = 2 π 7,5 ⋅ 15 ⋅ 38 + 20 ⋅ 20 ⋅ 15 2

V = 14550 π   m m 3

E assim finalizamos a questão!

Resposta

A = 2790 π   m m 2

V = 14550 π   m m 3

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