Enunciado

Determine a distância a em termos da dimensão L da viga entre os apoios A e B simetricamente posicionados de modo que o momento interno no centro da viga seja zero.

Passo 1

Para determinar o que se pede, deve-se fazer o diagrama de corpo livre da viga para que seja possível determinar alguma reação externa ao apoio da viga. Após isso, deve-se seccionar o corpo nos pontos de referência e fazer a análise dessas seções, ou seja, fazer a análise das reações internas do sistema.

Para este exercício, o que pode ser feito é determinar o valor de alguma das reações agindo nos apoios para, então, poder relacionar com as reações internas no ponto intermediário.

Passo 2

Então, primeiramente, fazendo o DCL da viga:

Se torna possível analisar as forças e reações presentes no diagrama. Logo, aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário como positivo, tem-se:

∑ M A = 0 ⇒ B y a + F R t L 2 - x ¯ t - a 2 - F R t a 2 + L 2 - x ¯ t = 0

Colocando a força em evidência:

B y a + F R t L 2 - x ¯ t - a 2 - a 2 - L 2 + x ¯ t = 0

B y a + F R t - a = 0

Então, lembrando que a resultante de uma carga triangular é dada por F R t = 1 2 w x :

B y = 1 4 w 0 L

Passo 3

Utilizando este último resultado obtido, pode-se fazer um “corte” no parte central da viga e fazer uma análise na seção gerada. Portanto:

E para determinar o valor da distância a deve ser feito princípio dos momentos em relação ao ponto central considerando o sentido anti-horário como positivo, tal que:

∑ M C = 0 ⇒ B y a 2 - F R t L 2 - x ¯ t - M C = 0

Como um dos requisitos era que o momento interno no centro fosse nulo, então:

1 4 w 0 L a 2 - 1 2 w 0 L 2 L 2 - L 2 3 = 0

1 4 w 0 L a 2 = 1 2 w 0 L 2 L 2 - L 6

Portanto:

a = 2 24 L 8 ∴ a = 2 3 L

Resposta

a = 2 3 L

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