Enunciado

Determine a força normal interna, o esforço cortante e o momento nos pontos C e D da viga simplesmente apoiada. O ponto D está localizado à esquerda da força de 5   k N .

Passo 1

Para determinar o que se pede, deve-se fazer o diagrama de corpo livre da viga para que seja possível determinar alguma reação externa ao apoio da viga. Após isso, deve-se seccionar o corpo nos pontos de referência e fazer a análise dessas seções, ou seja, fazer a análise das reações internas de cada membro seccionado.

Passo 2

O DCL da viga é dada por:

A carga distribuída exerce uma força resultante sobre a viga em uma determinada posição que devem ser determinados. Como o carregamento é triangular, tem-se que a resultante é dada por:

F R t r i a n g = 1 2 w x = 1 2 3 3 = 4,5   k N

E a sua posição de atuação será a mesma que a posição do seu centroide para este caso e é dada por:

x ¯ t r i a n g = b 3 = 3 3 = 1 m

Passo 3

Agora, tendo apenas as reações indeterminadas é possível determinar a reação em B aplicando o somatório de momentos em relação ao ponto A e supondo que o momento é positivo no sentido anti-horário, tal que:

M A = 0 ⇒ B y 6 - 4,5 1 - 5 3 = 0

B y = 4,5 + 15 6 ∴ B y = 3,25   k N

Passo 4

Então, pode-se fazer um “corte” no ponto C que terá uma de suas seções analisadas.

Logo, fazendo o DCL da seção à direita de C e mostrando as forças e reações aplicadas, tem-se que:

Como o comprimento da seção diminuiu, o valor da força resultante gerada pela carga distribuída é alterado. No entanto, como temos o valor da carga apenas na extremidade esquerda, deve-se perceber que a carga é linear e, portanto, o seu valor varia linearmente. Portanto:

Então:

w ' 1,5 = 3 3 ∴ w ' = 1,5   k N ∙ m

Com isso, a força resultante gerada pela carga seccionada será:

F R t r i a n g ' = 1 2 1,5 1,5 = 1,125   k N

E o seu ponto de ação será:

x ¯ ' t r i a n g = 1,5 3 = 0,5 m

Passo 5

Então, voltando ao DCL da seção e aplicando as equações de equilíbrio obtém-se para o eixo x :

→ ∑ F x = 0 ⇒ N C = 0

Para o eixo y :

↑ ∑ F y = 0 ⇒ V C + B y - F R t r i a n g ' - 5 = 0

V C = 1,125 + 5 - 3,25

V C = 2,875   k N

E, aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto C e considerando o sentido anti-horário como sendo positivo:

∑ M C = 0 ⇒ B y 4,5 - M C - F R t r i a n g ' x ¯ ' t r i a n g - 5 1,5 = 0

M C = 3,25 4,5 - 1,125 0,5 - 7,5

M C = 6,562   k N ∙ m

Passo 6

Por fim, fazendo o mesmo processo para o ponto D , secciona-se a viga neste ponto e obtém-se o DCL desse membro:

Feito isso, pode-se aplicar as equações de equilíbrio, tal que obtém-se para o eixo x :

→ ∑ F x = 0 ⇒ N D = 0

Para o eixo y :

↑ ∑ F y = 0 ⇒ V D + B y - 5 = 0

V D = 5 - 3,25

V D = 1,75   k N

E, aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto D e considerando o sentido anti-horário como sendo positivo:

∑ M D = 0 ⇒ B y 3 - M D = 0

M D = 3,25 3

M D = 9,75   k N ∙ m

Resposta

N C = 0

V C = 2,875   k N

M C = 6,562   k N ∙ m

N D = 0

V D = 1,75   k N

M D = 9,75   k N ∙ m

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