Enunciado

Determine a força em cada cabo para suportar a plataforma de 17,5 kN ( ≈ 1750   k g ). Considere d = 0,6   m .

Passo 1

Fala aii galerinha bonita do RespondeAí, tudo beleza?! Bora lá fazer esse exercício aqui!

O enunciado nos disse que temos uma plataforma sendo suportada através de cabos como na figra abaixo:

E sabendo disso, o enunciado quer que a gente encontre a força em cada cabo necessária para suportar esse peso da plataforma.

Mas calma lá meu patrão, vamos com com carinho que vai dar certo!

Antes de mais nada, devemos desenhar o diagrama de corpo livre, com essas forças em cada cabo, de maneira que fique mais ou menos assim:

Isso é bom, porque agora sabemos que a força T A B está na direção do vetor A B → , da mesma maneira a força T A C está na direção A C → e T A D na direção A D → .

Passo 2

Iradoso, então se a gente conseguir expressar o vetor unitário u → de cada uma dessas direções, vamos poder expressar a forma vetorial das forças através da equação:

F → = F u →

Então por exemplo para a força T A B , sabemos que seu vetor diretor é A B → , dado como:

A B → = B - A

Onde B é o ponto B e A é o ponto A , tal que:

A B → = 1,2 ;     - 0,9 ;   0 - 0 ;   0 ;   3

A B → = 1,2 ;     - 0,9 ;   - 3

Então pra gente encontrar o vetor unitário desse vetor diretor, é só a gente dividir ele pelo módulo dele mesmo:

u → A B = A B → A B →

Logo:

u → A B = 1,2 ;   - 0,9 ; - 3 1,2 2 + - 0,9 2 + - 3 2

u → A B = 1 11,25 1,2 ;     - 0,9 ;   - 3

u → A B = 0,36 ;     - 0,27 ;   - 0,89

Então podemos escrever T → A B como:

T → A B = T A B 0,36 ;     - 0,27 ;   - 0,89

Ou então:

T → A B = T A B 0,36 i ^ - 0,27 j ^ - 0,89 k ^

Passo 3

Iradoso, agora se a gente fizer o mesmo para T A C , vamos ter que:

A C → = C - A

A C → = 1,2 - d ;   0,9 ;     0 - 0 ;   0 ;   3

Como o enunciado nos deu que d = 0,6   m , então:

A C → = 0,6 ;   0,9 ;   - 3

Então o vetor unitário será:

u → A C = 0,6 ;   0,9 ;   - 3 0,6 2 + 0,9 2 + - 3 2

u → A C = 1 10,17 0,6 ;   0,9 ;   - 3

u → A C = 0,19 ;   0,28 ;   - 0,94

Sendo assim, T → A C será dada como:

T → A C = T A C 0,19 ;   0,28 ;   - 0,94

T → A C = T A C 0,19 i ^ + 0,28 j ^ - 0,94 k ^

Passo 4

E decompondo a ultima força T A D vamos obter que:

A D → = D - A

A D → = - 1,2 ;     0,9 - 0,6 ;   0 - 0 ;     0 ;   3

Logo:

A D → = - 1,2 ;     0,3 ;   - 3

Sendo assim:

u → A D = - 1,2 ;     0,3 ;   - 3 - 1,2 2 + 0,3 2 + - 3 2

u → A D = 1 10,53 - 1,2 ;     0,3 ;   - 3

u → A D = - 0,37 ;     0,09 ;   - 0,92

Então a forma vetorial de T → A D será:

T → A D = T A D - 0,37 i ^ + 0,09 j ^ - 0,92 k ^

Tá ficando bonito.

Passo 5

Como a plataforma esta em equilíbrio, isso requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

E como a gente já escreveu as forças e suas componentes de cada eixo, vai ficar bonitinho pra gente escrever esses somatórios.

T → A B = T A B 0,36 i ^ - 0,27 j ^ - 0,89 k ^ ,     T → A C = T A C 0,19 i ^ + 0,28 j ^ - 0,94 k ^ ,    

T → A D = T A D - 0,37 i ^ + 0,09 j ^ - 0,92 k ^

Então primeiro para o eixo x , vamos ter que

∑ F x = 0

0,36 T A B + 0,19 T A C - 0,37 T A D = 0

Para o eixo y :

∑ F y = 0

- 0,27 T A B + 0,28 T A C + 0,09 T A D = 0

E agora para com o eixo z :

∑ F z = 0

- 0,89 T A B - 0,94 T A C - 0,92 T A D + 17,5 = 0

Passo 6

Belezoca, e com isso a gente conseguiu montar um sisteminha de 3 equações e 3 variavies dado como:

0,36 T A B + 0,19 T A C - 0,37 T A D = 0 - 0,27 T A B + 0,28 T A C + 0,09 T A D = 0 0,89 T A B + 0,94 T A C + 0,92 T A D = 17,5

E resolvendo esse sistema linear, vamos descobrir que:

T A B = 6,8   kN ,     T A C = 3 , 7   kN ,     T A D = 8 , 5   kN

Resposta

T A B = 6,8   kN ,     T A C = 3,8   kN ,     T A D = 8,6   kN

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