Enunciado

Determine a força F entre as mandíbulas da braçadeira em termos de um torque M exercido na alça do parafuso de ajuste. O parafuso tem avanço (avanço por rotação) L e o atrito deve ser desprezado.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa, observe que a força de aperto F atua em ambos os pontos A e B, também assumimos que os braços ACE e BFE são retos

Podemos ver no esboço que a mudança de distância AB é

y A B = 2 b c o s ⁡ θ - 2 a s i n ⁡ θ

Derive ambos lados da equação

δ y A B = - 2 b s i n ⁡ θ - 2 a c o s ⁡ θ δ θ

Também podemos ver no esboço que o movimento virtual do ponto D é

x D = 2 b s i n ⁡ θ

Observe que podemos escrever esta distância como função do ângulo a também

Uma vez que o ângulo de 2π é necessário superar a distância L, a distância é igual ao produto do ângulo e razão L 2 π

x D = α L 2 π

Como escrevemos a distância x_D em função de α e θ, podemos determinar a relação entre esses dois ângulos

α L 2 π = 2 b s i n ⁡ θ

Derive ambos lados da equação para ter

δ α L 2 π = 2 b c o s ⁡ θ δ θ δ a = 4 b π L c o s ⁡ θ δ θ

Passo 2

O trabalho virtual realizado pelo par M é produto da rotação virtual δα e do momento que a força produz

δ U M = M δ α

Substituiremos δ α por 4 b π L c o s ⁡ θ δ θ

δ U M = M 4 b π L c o s ⁡ θ δ θ (1)

Trabalho virtual feito pela força F é

δ U F = F δ y A B

substituiremos δ y A B por - 2 b s i n ⁡ θ - 2 a c o s ⁡ θ δ θ

δ U F = - F ( 2 b s i n ⁡ θ + 2 a c o s ⁡ θ ) δ θ δ U F = - 2 F ( b s i n ⁡ θ + a c o s ⁡ θ ) δ θ (2)

Passo 3

A seguir, vamos aplicar o Princípio do Trabalho Virtual, que afirma que a soma do trabalho realizado por todas as forças ativas é igual a zero

δ U   = 0 δ U M + δ U F   = 0

Substituiremos δ U M e δ U F pelas expressões (1) e (2) respectivamente

M 4 b π L c o s ⁡ θ δ θ - 2 F ( b s i n ⁡ θ + a c o s ⁡ θ ) δ θ = 0   / ⋅ 1 δ θ

Dividiremos ambos lados da equação por δ θ

M 4 b π L c o s ⁡ θ - 2 F ( b s i n ⁡ θ + a c o s ⁡ θ ) = 0

Escreveremos F como

F = 1 2 4 b π M c o s ⁡ θ L ( b s i n ⁡ θ + a c o s ⁡ θ ) / ⋅ 1 c o s ⁡ θ 1 1 b c o s 4 multiplicaremos ambos lados da equação por 1 l o g ⁡ θ 1 5 para obter

F = 2 π M L t a n ⁡ θ + a b

Resposta

F = 2 π M L t a n ⁡ θ + a b

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