Enunciado

Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que age sobre A .

Passo 1

Sabemos que a força resultante será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

Para B precisaremos trabalhar um pouco com os ângulos:

x B = 4,5 sin ⁡ 45 °

x B = 3,2   m

y B = - 4,5 cos ⁡ 45 °

y B = - 3,2   m

E ficamos com:

A ( 0 ,   0 ,   6 )   m

B 3,2 ,   - 3,2 ,   0   m

C - 3 ,   - 6 ,   0   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r A B = x B - x A i + y B - y A j + ( z B - z A ) k

r A B = 3,2 i - 3,2 j - 6 k   m

E para o outro:

r A C = x C - x A i + y C - y A j + ( z C - z A ) k

r A C = - 3 i - 6 j - 6 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

r B = 3,2 2 + - 3,2 2 + - 6 2

r B = 7,5   m

r C = - 3 2 + - 6 2 + - 6 2

r C = 9,0   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido de cada vetor:

u = r r

u B = 3,2 i - 3,2 j - 6 k 7,5

u B = 0,43 i - 0,43 j - 0,8 k

u C = ( - 3 i - 6 j - 6 k ) 9,0

u C = - 0,33 i - 0,66 j - 0,66 k

Passo 3

Com isso, podemos expressar cada força como um vetor cartesiano:

F B = F B   u B

F B = 9 00   N   0,43 i - 0,43 j - 0,8 k

F B = 387 i - 387 j - 720 k   N

F C = F C   u C

F C = 6 00   N   - 0,33 i - 0,66 j - 0,66 k

F C = - 198 i - 396 j - 396 k   N

Passo 4

Nossa força resultante será então:

F R = F B + F C

F R = 387 i - 387 j - 720 k + - 198 i - 396 j - 396 k  

F R = 189 i - 783 j - 1116 k   N

Agora podemos encontramos a intensidade da força resultante:

F R = 189 2 + - 783 2 + - 1116 2

F R = 1376   N

Passo 5

Finalmente encontramos os ângulos de direção coordenados da força pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 189 1376 ∴ α = 82 °

β = cos - 1 ⁡ - 783 1376 ∴ β = 125 °

γ = cos - 1 ⁡ - 1116 1376 ∴ γ = 144 °

Resposta

F R = 1376   N

α = 82 °

β = 125 °

γ = 144 °

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