Enunciado

O lustre é sustentado por três corrente que são concorrentes no ponto O . Se a força em cada corrente possui uma intensidade de 300 N , expresse cada força como um vetor cartesiano e determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante.

Passo 1

Fala! A gente quer a força resultante para esse caso e seus ângulos de direção.

Temos que determinar cada vetor força F A → , F B → e F c → . Após isto, executaremos a soma das três forças e obtendo a força resultante.

Para determinar o vetor de uma força, a gente precisa multiplicar o módulo dessa força por um vetor unitário na direção e sentido da força.

Vamos trabalhar com o vetor de F A . O vetor na direção dele é o que sai de O   e vai para A . Então podemos escrever esse vetor pela diferença de coordenadas entre esses pontos

u O A = A - O

Sendo

O = 0,0 ,   1.8

Para as coordenadas de A vamos precisar usar trigonometria. Pela figura, vemos que o segmento que passa pela origem e vai até A faz um ângulo de 120 ° - 90 ° = 30 ° com o eixo x e tem comprimento 1,2   m .

O que vamos fazer é projetar esse segmento em x e em y para achar essas coordenadas para A . Como o ângulo está colado em x , ele fica com cosseno:

A x = 1,2 cos ⁡ 30 °

A y = - 1,2   s e n   30 °  

Atenção que a coordenada y   é negativa, pela figura. Nosso ponto fica:

A = 1,2 cos ⁡ 30 ° , - 1,2   s e n   30 ° , 0

E o vetor fica:

u O A → = 1,2 cos ⁡ 30 ° , - 1,2   s e n   30 ° , 0 - 0,0 , 1.8 = 1,2 cos ⁡ 30 ° , - 1,2   s e n   30 ° , - 1.8

Aí a força fica:

F A → = 300 ∙ u O A → u O A →

F A → = 300 ∙ 1,2 ∙ cos ⁡ 30 ° i - 1,2 ∙ s e n   30 ° j - 1,8   k 1,2 ∙ cos ⁡ 30 ° 2 + - 1,2 ∙ s e n   30 ° 2 + - 1,8 2

F A → = 300 ∙ 1,2 ∙ cos ⁡ 30 ° i - 1,2 ∙ s e n   30 ° j - 1,8   k 4.68  

F A → = 144,115   i - 83,205 j - 249,62 k   N

Passo 2

Determinando o vetor F B , vamos fazer algo parecido

u O B → = B - 0

u O B → = - 1,2 cos ⁡ 30 ° , - 1,2   s e n   30 ° , 0 - 0,0 , 1.8 = - 1,2 cos ⁡ 30 ° , - 1,2   s e n   30 ° , - 1.8

Repara que B está na parte negativa de x   e y . A força fica:

F B → = 300 ∙ u O B → u O B →

F B → = 300 ∙ - 1,2 ∙ cos ⁡ 30 ° i - 1,2 ∙ s e n   30 ° j - 1,8   k - 1,2 ∙ cos ⁡ 30 ° 2 + - 1,2 ∙ s e n   30 ° 2 + - 1,8 2

F B → = 300 - 1,2 ∙ cos ⁡ 30 ° i - 1,2 ∙ s e n   30 ° j - 1,8   k 4,68

F B → = - 144,115   i - 83,205 j - 249,62 k   N

Passo 3

Determinando o vetor F C : Ele vai ser mais simples porque conseguimos mais tranquilo as coordenadas de C :

C = 0 ,   1.2   , 0

Isso porque o segmento entre ele e a origem está sobre o eixo y . Aí o vetor na direção da força fica:

u O C → = C - 0

u O C → = 0,1.2,0 - 0,0 , 1.8 = 0 ,   1.2 ,   - 1.8

Aí a força fica:

F C → = 300 ∙ u O C → u O C →

F C → = 300 ∙ 1,2 j - 1,8   k 1,2 2 + - 1,8 2

F C → = 300 1,2 j - 1,8 k 4,68

F C → = 166,41   j - 249,61   k   N

Passo 4

Agora que possuímos todos os vetores definidos, podemos determinar força resultante somando-os.

F R → = F A → + F B → + F C →

F R → = 144,115   i - 83,205 j - 249,61 k + - 14 4,115   i - 83,205 j - 249,61 k + F C →

F R → = - 166,41 j - 499,22 k + 166,41   j - 249,61   k

F R → = - 748,83 k

Portanto, a força resultante conforme esperado aponta para baixo no sentido do eixo z

Passo 5

Agora para determinar os ângulos do vetor resultante, aplicarmos a seguinte relação:

cos ⁡ α = F R x F R

cos ⁡ β = F R y F R

cos ⁡ γ = F R z F R

Aplicando arco cos, e substituindo os respectivos valores, temos:

α = cos - 1 ⁡ 0 748,86   = 90 °

β = cos - 1 ⁡ 0 748,86   = 90 °

γ = cos - 1 ⁡ - 748,83 748,83   = 180 °

Resposta

F R = - 748,83 k

α = 90 °

β = 90 °

γ = 180 °

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