Enunciado

Uma draga flutuante é ancorada em posição com um único cabo de popa que tem uma direção horizontal no anexo A e se estende por uma distância horizontal de 250 m até uma ancoragem B na costa. Uma tensão de 300 kN é necessária no cabo em A. Se o cabo tiver uma massa de 22 kg por metro de seu comprimento, calcule a altura H necessária da ancoragem acima do nível da água e encontre o comprimento s do cabo entre A e B .

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo.

Observe que, uma vez que o cabo suporta apenas seu peso, o cabo tem uma forma conhecida como catenária

Como o cabo é horizontal em A, sabemos que a tensão TA é horizontal, ou seja, é igual a T0

T A = T 0 = 300   kN = 300   000   N

O peso por metro de comprimento é igual à massa por comprimento vezes a gravidade:

μ = m p l ∙ g

μ = 22 ∙ 9.81 = 215   N/m

Passo 2

Também podemos ver no esboço que o início do sistema de coordenadas está 2 m acima da água, então podemos escrever a distância H como:

H = h + 2

Observe que a função do cabo é:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substitua T0 e μ por seus valores e coloque as coordenadas do ponto B na equação

h = T 0 137.34 cosh ⁡ 137.34 ∙ 65 T 0 - 1

Passo 3

Usando uma calculadora gráfica como o Desmas (link nos comentários), traçaremos a função y   =   5 e y = T 0 137.34 cosh ⁡ 137.34 ∙ 65 T 0 - 1 e leremos a solução do ponto de intersecção

T 0 = 58   140   N

Substitua T0 por seu valor na expressão (1)

T A = 58   140   N

A seguir, usando a expressão (5/20), podemos determinar o comprimento do cabo

s = T 0 μ sinh ⁡ x ∙ μ T 0

Substitua T0 e m por seus valores e x pela coordenada do ponto B, uma vez que o ponto A está no início do sistema de coordenadas

s = 300   000 215.82 sinh ⁡ 250 ∙ 215.82 300   000

s = 251.35   m

Resposta

H = 24.54   m

s = 251.35   m

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