Determine o produto de inércia do área sombreada em relação aos eixos x e y .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Deveremos encontrar o produto de inércia a área sombreada em relação aos eixos x e y .

Para esse problema, nós iremos utilizar esse elemento de área como nosso elemento diferencial.

Vamos aos cálculos!

Passo 2

Para determinar o produto de inércia I x y da figura, nós iremos aplicar o teorema do eixo paralelo ao elemento diferencial. Esse teorema nos da a seguinte equação:

d I x y = d I x ' y ' - + d A x ~ y ~

Onde:

d I x y é o produto de inercia do elemento diferencial sobre os eixos y e x

d I x ' y ' - é o produto de inercia do elemento diferencial sobre o eixo centroidal

d A é a área do elemento de área

x ~ é a coordenada x do centroide do elemento diferencial

y ~ é a coordenada y do centroide do elemento diferencial

Passo 3

Obtendo a área do elemento diferencial de área:

d A = x d y

= b 3 h y 1 3 d y

= b h 1 3 ⋅ y 1 3 d y

Note que o centroide do elemento diferencial é localizado em:

x ~ = x 2 = b 2 h 1 3 ⋅ y 1 3

E:

y ~ = y

Agora nós podemos ter:

d I x y = 0 + b h 1 3 ⋅ y 1 3 d y ⋅ b 2 h 1 3 ⋅ y 1 3 ⋅

= b 2 2 h 2 3 ⋅ y 5 3 d y

Finalmente, nós podemos obter I x y simplesmente integrando d I x y :

I x y = ∫ 0 h b 2 2 h 2 3 ⋅ y 5 3 d y

= b 2 2 h 2 3 ⋅ 2 y 3 8 8 0 h

I x y = 3 b 2 h 2 16

Resposta

I x y = 3 b 2 h 2 16

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