Determine o produto de inércia da fina faixa de área em relação aos eixos x e y . A faixa é orientada a um ângulo theta em relação ao eixo x . Considere que t << l .

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular o produto de inércia da faixa em relação a x e y .

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que lembrar que o produto de inércia em x e y é dada por:

I x y = ∫ A x y d A

Bora lá!

Passo 2

Foi dito no enunciado que t ≪ l , assim, podemos dizer:

d A = t d s

Com

x = s cos ⁡ θ

y = s sin ⁡ θ

Assim, reescrevendo a integral que vimos no passo 1, temos:

I x y = ∫ A x y d A = ∫ 0 l s cos ⁡ θ s sin ⁡ θ t d s

I x y = ∫ 0 l s 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ t d s

Como t e θ são constantes...

I x y = t sin ⁡ θ cos ⁡ θ ∫ 0 l s 2 d s = t sin ⁡ θ cos ⁡ θ s 3 3 0 l

I x y = 1 3 l 3   t sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Podemos ainda aplicar a identidade trigonométrica:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Assim, ficando:

I x y = 1 6 l 3   t sin ⁡ 2 θ

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

I x y = 1 6 l 3   t sin ⁡ 2 θ

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