Enunciado

Determine a tração desenvolvida nos três cabos necessária para suportar o semáforo, que tem uma massa de 20 kg. Considere h = 3,5 m.

Passo 1

Oi pessoal? Vamos para mais um exercício?

Para que o sistema esteja em equilíbrio, temos que:

∑ F → = 0

F → + F A B → + F A C → + F A D → = 0

Sabemos que o vetor força é dado pelo produto entre a intensidade da força e o vetor direção unitário relacionado a ele.

Temos que:

A D → = 4 i - 3 j + 4 k - 0 i + 0 j + 3,5 k

A D → = 4 i - 3 j + 0 , 5 k

A B → = 3 i + 4 j + 4 k - 0 i + 0 j + 3,5 k

A B → = 3 i + 4 j + 0 , 5 k

A C → = - 6 i - 3 j + 6 k - 0 i + 0 j + 3,5 k

A C → = - 6 i - 3 j + 2 , 5 k

Passo 2

Agora podemos encontrar o vetor força de cada elemento:

F A D → = F A D ⋅ 4 i - 3 j + 0 , 5 k 4 2 + - 3 2 + 0 , 5 2

F A D → = F A D ⋅ 4 i - 3 j + 0 , 5 k 5 , 025

Para A B , temos:

F A B → = F A B ⋅ 3 i + 4 j + 0 , 5 k 3 2 + 4 2 + 0 , 5 2

F A B → = F A B ⋅ 3 i + 4 j + 0 , 5 k 5 , 025

E para A C , temos:

F A C → = F A C ⋅ - 6 i - 3 j + 2 , 5 k - 6 2 + - 3 2 + 2 , 5 2

F A C → = F A C ⋅ - 6 i - 3 j + 2 , 5 k 7 , 159

Passo 3

Como dito anteriormente, nossa condição de equilíbrio é de que:

W → + F A B → + F A C → + F A D → = 0

Portanto:

F A D ⋅ 4 i - 3 j + 0 , 5 k 5,025 + F A B ⋅ 3 i + 4 j + 0 , 5 k 5,025 + F A C ⋅ - 6 i - 3 j + 2,5 k 7,159 + - W k = 0

Rearranjando, temos que:

4 5 , 025 F A D + 3 5 , 025 F A B - 6 7 , 159 F A C i + - 3 5 , 025 F A D + 4 5 , 025 F A B - 3 7 , 159 F A C j + 0,5 5,025 F A D + 0,5 5,025 F A B + 2 , 5 7 , 159 F A C - W k = 0

Temos então 3 equações:

4 5,025 F A D + 3 5,025 F A B - 6 7,159 F A C = 0

- 3 5,025 F A D + 4 5,025 F A B - 3 7,159 F A C = 0

0,5 5,025 F A D + 0,5 5,025 F A B + 2,5 7,159 F A C - W = 0

Como W = 20 ⋅ 9,81 = 1 96,2   N , temos 3 equações e 3 incógnitas.

Fazendo um sistema com essas equações temos que:

F A D = 174   N

F A B = 348   N

F A C = 413   N

Resposta

F A D = 174   N

F A B = 348   N

F A C = 413   N

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