Enunciado

Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto B como indicado. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.

Passo 1

Primeiro devemos observar que as duas barras mencionadas são as barras BC (grossa e escura) e a barra AB (fina e clara).

O problema pediu para calcular a tensão normal σ , que é dada por

σ = P A

Onde P é a força interna que atua na barra e A a área da seção transversal.

Obs: Galera, o livro do Beer utiliza a letra P na fórmula como a força interna que atua na barra. Além disso, em alguns problemas o livro também utiliza a letra P como uma força externa qualquer (que não é necessariamente a força que atua no interior da barra, embora nesse problema seja; acredito que o autor tenha feito isso para facilitar a compreensão, mas é importante perceber que as duas são distintas). De qualquer forma irei me ater à nomenclatura do autor.

Então veja que as informações importantes para a resolução do problema são:

  • As forças;
  • Os diâmetros (para calcular a área).

O comprimento das barras é inútil para esse exercício ;)

Passo 2

Já existem duas forças, ambas apontando para baixo, uma com 30 k N e outra com 40   k N . Pode se, ver que apenas com estas duas forças o sistema não está em equilíbrio, portanto deve existir uma força externa F , que equilibra o sistema e ainda desconhecemos. Então vamos achar essa força.

O único lugar que essa força pode atuar de modo a ser uma força externa, e assim equilibrar o sistema, é no ponto C . Logo, vamos aplicar essa força F no ponto C :

Repare que aqui a força F foi colocada de baixo para cima por uma questão de conveniência, porque a gente sabe que para equilibrar a barra a força deve ser apontada para cima. Mas o sentido dessa força não importa, é pura convenção!! Caso o sentido esteja certo acharemos um valor positivo, caso esteja errado acharemos um valor negativo o que significa que o sentido deve ser trocado.

Como só temos forças na vertical vamos ter que o somatório das forças em y é igual a zero:

∑ F y = 0

Vamos considerar o sentido positivo para cima, logo teremos:

- 30 - 40 + F = 0

F = 30 + 40

F = 70   k N

Passo 3

Afim de calcular a tensão normal vamos, então, calcular a área e a força atuante. Vamos fazer isso primeiro para a barra AB.

A área é mais fácil de ser calculada e vem diretamente do diâmetro fornecido que é de 30 mm. Podemos calcular a área de dois jeitos, o primeiro:

A A B = π ⋅ D 2 4

E o segundo:

A A B = π ⋅ r 2

Isso porque o diâmetro é o dobro do raio

r ² = D 2 2 = D 2 4

Como o problema nos forneceu o diâmetro então vamos utilizar o primeiro jeito mesmo:

D = 30 m m = 30 ⋅ 10 - 3 m

A A B = π ⋅ ( 30 ⋅ 10 - 3 ) 2 4 m ²

A A B = π ⋅ 900 ⋅ 10 - 6 4 m ²

A A B = π ⋅ 225 ⋅ 10 - 6 m ²

A A B = 706,86 ⋅ 10 - 6 m ²

Ou

A A B = 706,86   m m ²

Passo 4

Agora vamos aplicar a equação da tensão normal:

σ = P A

Mas temos várias forças então quem é essa força P ?

A força P é a força que atua dentro da barra, então a gente tem que fazer um corte na barra BC e ver que força é essa.

Olha o corte que bonitinho!

Agora sim! A força que a gente realmente quer é a F que atua bem no corte! E não precisa de muito para ver que P = F (em módulo pelo menos né), além disso fica bem nítido que a barra está sob efeito de compressão (olha como P e F “amassam” a barra).

Daí temos que F = P = 30 k N

Passo 5

Então agora sim é só colocar na fórmula

σ = P A B C

Aqui vai um truque que eu uso, mas podem ficar à vontade para resolver da forma que preferirem. Eu gosto de utilizar a força em Newton e a área em milímetro quadrado porque aí a tensão já dá direito em M P a . Olha só!

1 N 1 m m ² = 1 N ( 10 - 3 m ) ² = 1 N 10 - 6 m ² = 10 6 N m 2 = 10 6 P a = 1 M P a

σ = 30.000   N 706,86   m m ²

σ = 42,44   M P a

Passo 6

Agora vamos fazer os mesmos passos para achar a tensão normal na barra BC. Então primeiro vamos achar a força interna que atua na barra BC, para tanto vamos fazer um corte em BC:

Nós já sabemos que a força F = 70 k N , mas pelo desenho percebe-se que ainda falta aquela “forcinha” que atua no interior da barra né? Então vamos desenha-la

Chamei aqui a força que atua dentro da barra de F ' e é nítido que ela pe igual a 70 k N , porque a barra permanece em equilíbrio:

∑ F y = 0

- F ' + 70 = 0

F ' = 70 k N

Passo 7

Como já temos a força agora falta apenas a área:

A B C = π ⋅ D 2 4

A B C = π ⋅ 25 ² 4  

A B C = π ⋅ 625 4

A B C = 1963,50 4

A B C = 490,87 m m ²

Passo 8

Por fim, substituímos na fórmula da tensão:

σ = P A

Que, para este caso fica:

σ B C = F ' A B C

σ B C = 70000   N 490,87   m m ² = 35,65   M P a

Resposta

Barra AB:

σ = 18,1   M P a

Barra BC:

σ B C = 35,65   M P a

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