Enunciado

Especifique a intensidade de F 3 e seus ângulos de direção coordenados α 3 , β 3 , γ 3 de modo que a força resultante seja F R = { 9 j } kN.

Passo 1

Falaaa galerinha do RespondeAí, tudo beleza?! Bora lá resolver esse exercício?

Saca só, o enunciado nos diz que temos 3 forças F 1 , F 2 e F 3 atuando sobre um ponto de um suporte como dado no diagrama seguir:

E sabendo que resultante entre essas forças é F R = 9 j ^ N , ele quer que a gente descubra os ângulos de direção coordenados e a intensidade de F 3 . Pra isso vamos precisar decompor as forças em suas componentes de cada eixo pra podermos efetuar os cálculos. Bora lá!

Passo 2

Decompondo F 3 através dos seus ângulos de direção, vamos ter que:

F 3 x = F 3 cos ⁡ α 3 ,     F 3 y = F 3 cos ⁡ β 3 ,     F 3 z = F 3 cos ⁡ γ 3

Já para a força F 2 , ela está contida no plano x z , de modo que F 2 y = 0 . E o ângulo que F 2 faz com o eixo x é o mesmo do triangulo retângulo de catetos 12 e 5 , com hipotenusa 13 .

Aqui colocamos o eixo x positivo para a esquerda só para não confundir com a primeira imagem, de modo que as componentes da força F 2 serão:

F 2 x = - F 2 cos ⁡ θ ,     F 2 y = 0 ,     F 2 z = F 2 sen ⁡ θ

Como sen ⁡ θ = 5 13 e cos ⁡ θ = 12 13 , então:

F 2 x = - F 2 12 13 ,     F 2 y = 0 ,     F 2 z = F 2 5 13

E agora para F 1 , ela está contida no plano y z com um ângulo de 30 ° com o eixo y :

Sendo assim, teremos que suas componentes serão:

F 1 x = 0 ,     F 1 y = F 1 cos ⁡ 30 ° ,     F 1 z = - F 1 sen ⁡ 30 °

Passo 3

Belezera galerinha, agora que sabemos a expressão vetorial das forças, podemos lembrar que a força resultante F R entre elas possui componente apenas na direção do eixo y , ou seja:

F R x = 0 ,     F R z = 0

Então se a gente somar as componentes do eixo x ou do eixo z , a soma deve ser igual a 0 . Sendo assim, primeiro para o eixo x , temos que:

F R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x = 0

F R x = 0 + - F 2 12 13 + F 3 cos ⁡ α 3 = 0

Isolando F 3 cos ⁡ α 3 , obtemos:

F 3 cos ⁡ α 3 = 12 F 2 13

Como F 2 = 10   kN , então:

F 3 cos ⁡ α 3 = 12 0 13

Passo 4

Para o eixo z , vamos ter que:

F R z = F 1 z + F 2 z + F 3 z = 0

Logo:

F R z = - F 1 sen ⁡ 30 ° + F 2 5 13 + F 3 cos ⁡ γ 3 = 0

Isolando F 3 cos ⁡ γ 3 :

F 3 cos ⁡ γ 3 = F 1 sen ⁡ 30 ° - F 2 5 13

Como F 1 = 12  kN e F 2 = 10   kN , temos que:

F 3 cos ⁡ γ 3 = 6 - 50 13

F 3 cos ⁡ γ 3 = 28 13

Passo 5

Iradoso, agora para o eixo y , temos o valor da componente sendo 9   kN , de modo que:

F R y = F 1 y + F 2 y + F 3 y = 9

Logo:

F R y = F 1 cos ⁡ 30 ° + 0 + F 3 cos ⁡ β 3 = 9

Isolando F 3 cos ⁡ β 3 , veremos que:

F 3 cos ⁡ β 3 = 9 - F 1 cos ⁡ 30 °

F 3 cos ⁡ β 3 = 9 - 6 3

Maravilha, agora a gente conseguiu descobrir todas as componentes da força F 3 :

F 3 x = 120 13 ,     F 3 y = 9 - 6 3 ,     F 3 z = 28 13

Isso quer dizer que sua intensidade será dada como:

F 3 = F 3 x 2 + F 3 y 2 + F 3 z 2

F 3 = 120 13 2 + 9 - 6 3 2 + 28 13 2

Logo:

F 3 = 9,58   kN

Passo 6

Show de bolinhas, agora que a gente já tem o valor das componentes e da intensidade, podemos descobrir os ângulos de direção coordenados de F 3 , tal que:

cos ⁡ α 3 = F 3 x F 3

cos ⁡ α 3 = 120 / 13 9,58

cos ⁡ α 3 = 0,9635

Então α 3 será:

α 3 = cos - 1 ⁡ 0,9635

α 3 = 15,5 °

Para β 3 , teremos que:

cos ⁡ β 3 = F 3 y F 3

cos ⁡ β 3 = 9 - 6 3 9,58

cos ⁡ β 3 = - 0,145

De modo que β 3 será:

β 3 = cos - 1 ⁡ - 0,145

β 3 = 98,4 °

E por fim para γ 3 , vamos obter que:

cos ⁡ γ 3 = F 3 z F 3

cos ⁡ γ 3 = 28 / 13 9,58

cos ⁡ γ 3 = 0,2248

Portanto:

γ 3 = cos - 1 ⁡ 0,2248

γ 3 = 77,0 °

Prontinha galeura!!

Resposta

F 3   =   9,5 8   kN

α 3 = 1 5,5 °

β 3 = 9 8,4 °

γ 3 = 7 7,0 °

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