Enunciado

Determine a tração desenvolvida nos cabos AB, AC e AD.

Passo 1

Falaaa, querido! A gente quer a tração em cada cabo.

Precisamos começar fazendo o DCL:

E, então, observando o desenho feito consegue-se montar as equações de equilíbrio.

O equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x, y e z, pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Passo 2

Para fazer o somatório de forças em cada eixo, precisamos decompor as nossas forças nos eixos coordenados:

- A força de 600 está na direção de z , então ela só tem componente nesse eixo e vale 600   N mesmo.

- A força F A C está na direção negativa do eixo x . Então ela também só tem componente em um eixo:

F A C x = - F A C

- A força F A B está no plano x y . Por isso, ela só tem componentes em x e y . Podemos achar essas componentes através do ângulo de 30 ° . Como ele está colado no eixo y , a componente nesse eixo vai ser o valor da força vezes cosseno e no outro eixo a gente usa seno.

F A B y = F A B cos ⁡ 30 °

F A B x = F A B   s e n   30 °

Passo 3

- Agora para F A D vamos usar uma estratégia um pouco diferente. A gente vai escrever ela na forma vetorial e tirar as componentes dela dessa forma.

O que a gente precisa fazer é achar um vetor unitário na direção e sentido da força, e multiplicar a intensidade da nossa força por ele.

Percebe que para a AD, um vetor no sentido da força seria o que sai de A e vai para D. Podemos acha-lo pela diferença entre essas coordenadas desses pontos. Fazendo final menos inicial:

u A D = D - A = 1 ,   - 2,2 - 0,0 , 0 = 1 ,   - 2,2

Aí para achar o vetor unitário só dividir esse cara pelo módulo dele. Nossa força em forma vetorial fica:

F A D → = F A D 1 i - 2 j + 2 k 1 2 + - 2 2 + 2 2 = F A D 1 i - 2 j + 2 k 3

F A D → = F A D 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k

Daí:

F A D x = 1 3 F A D

F A D y = - 2 3 F A D

F A D z = 2 3 F A D

Passo 4

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

F A B s e n 30 ° - F A C + F A D 1 3 = 0

F A C = F A B 1 2 + F A D 1 3   ( 1 )

∑ F y = 0

F A B c o s 30 ° - F A D 2 3 = 0

F A B = F A D 4 3 3   ( 2 )

∑ F z = 0

F A D 2 3 - 600 = 0

F A D = 900 N   ( 3 )

Passo 5

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema linear de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças.

Resolvendo este sistema, obtem-se:

F A B ≅ 692,82 ≅ 693   N

F A C = 646,41   N ≅ 646 N

F A D = 900   N

Resposta

F A B ≅ 692,82 ≅ 693   N

F A C = 646,41   N ≅ 646 N

F A D = 900   N

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Se a massa do vaso é 50k g , determine a tração desenvolvida em cada fio para o equilíbrio. Considere x = 2m e z = 1,5m .
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