Enunciado

Com que força horizontal P o trabalhador deve puxar para mover a tora de 35 kg para cima na inclinação com 15°? O coeficiente de atrito entre a tora e a inclinação vale 0,60 e entre a corda e a rocha vale 0,4.

Passo 1

Para puxar a corda, o trabalhador deve fazer uma força que se iguale à força de atrito entre a corda e a rocha mais a força de tração feita pela tora. A fórmula para o equilíbrio de uma corda em volta de uma superfície é dada por:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da corda, μ o coeficiente de atrito entre a corda e a superfície e β o ângulo total de giro da corda. Como a fórmula não envolve um raio específico, a superfície não precisa ser circular (como numa polia), e esse ângulo β nesse caso é igual a 15°. Através dessa fórmula, seremos capazes de achar a força P .

Passo 2

Temos o coeficiente de atrito μ = 0,4 entre a corda e a rocha, e o ângulo β = 15 ° . A tração T 2 é a força P que o trabalhador deve fazer, então precisamos primeiro encontrar o valor da tração menor T 1 feita na tora para aplicar a fórmula e achar T 2 = P . Achamor T 1 através do equilíbrio da tora, então vamos representá-la em diagrama de corpo livre. Há três forças atuando nela: o peso W , a tração T 1 e a força R feita pelo solo. Pelo equilíbrio do corpo, as três forças devem ser concorrentes no mesmo ponto, o centro de massa.

Colocando o eixo x paralelo ao plano inclinado, podemos achar T 1 pelo equilíbrio nas direções x e y das forças na tora. Sabe-se que a força R feita pelo solo, composta por normal e atrito, deve fazer com a linha normal à superfície de contato um ângulo ϕ , o ângulo de atrito, tal que:

tan ⁡ ϕ = μ s

Sendo μ s = 0,6 o atrito entre a tora e o solo. Então achamos o ângulo ϕ :

tan ⁡ ϕ = 0,6 ⇒ ϕ = arctg ⁡ 0,6 = 31 °

Primeiro vamos fazer a soma das forças na direção y normal ao solo, pois T 1 não aparece e achamos diretamente R . A massa da tora é de 35 kg:

∑ F y = 0 ⇒ - P cos ⁡ 15 ° + R cos ⁡ 31 ° = 0

⇒ R cos ⁡ 31 ° = P cos ⁡ 15 ° ⇒ R = P cos ⁡ 15 ° cos ⁡ 31 ° = 35 × 9,81 × cos ⁡ 15 ° cos ⁡ 31 °

⇒ R = 387   N

Agora fazemos o equilíbrio das forças na direção x :

∑ F x = 0 ⇒ T 1 - P sen ⁡ 15 ° - R sen ⁡ 31 ° = 0

⇒ T 1 = P sen ⁡ 15 ° + R sen ⁡ 31 ° = 35 × 9,81 × sen ⁡ 15 ° + 387 sen ⁡ 31 °

⇒ T 1 = 288   N

Passo 3

Agora que temos a tração T 1 na extremidade esquerda da corda, já possuímos todos os valores necessários para achar T 2 = P na equação de equilíbrio. Então substituímos os valores. O ângulo β deve ser colocado em radianos, então multiplicamos por π 180 ° :

β = 15 ° × π 180 ° = π 12

Então:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β ⇒ ln ⁡ P 288 = 0,4 × π 12 ⇒ ln ⁡ P 188 = π 30

Para achar o valor de P devemos passar a equação para a forma exponencial:

P 288 = e π / 30 ⇒ P = 288 e π / 30

⇒ P = 320   N

Resposta

P = 320   N

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