Enunciado

A peça anexa B recebe um movimento horizontal x B = b cos ⁡ ω t . Desenvolva a equação do movimento para a massa m e determine a frequência crítica ω c para a qual as oscilações da massa tornam-se excessivamente grandes.

Passo 1

Dados da questão:

  • Massa: m .
  • Rigidez das molas: k 1 e k 2
  • Coeficiente de amortecimento: c .
  • Movimento da extremidade direita da mola 2 : x B = b cos ⁡ ω t .

Queremos uma equação que defina o movimento da massa com todos esses elementos interagindo. Vai ser bem tranquilo! Primeiro passo vai ser identificar quem são as forças atuando na massa, e aí vamos identificar cada força.

Depois a gente vai procurar a frequência que faz as oscilações serem extremamente grandes!

Passo 2

Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento x qualquer. A partir disso a gente desenha o diagrama de corpo livre.

Beleza! Quando a massa vai para a direita, as duas molas e o amortecedor vão gerar forças para esquerda, porque eles resistem ao movimento.

Agora a gente escreve a equação da dinâmica para a massa m :

∑ F e x t = m   a

A aceleração a   vai ser a segunda derivada do deslocamento no tempo: a = x ¨ . Coloque as forças externas na equação. Atenção ao sinal! Elas estão em sentido oposto ao deslocamento x .

- F c - F k 1 - F k 2 = m x ¨

m x ¨ + F c + F k 1 + F k 2 = 0

Vamos ver quem é cada uma dessas forças, e ir conferindo se a direção das forças no diagrama de corpo livre está certa!

Passo 3

Para a força devida ao amortecedor, ela será linear à velocidade do pistão dentro dele.

A velocidade da massa é x ˙ , e se o corpo está indo para direita, então x ˙ também aponta para direita! Como a extremidade esquerda do amortecedor está fixa, o pistão vai ter a mesma velocidade   x ˙ !

F c = c x ˙

A velocidade x ˙ é para direita, então a força F c que resiste isso tem que ir para esquerda! Beleza, isso confere com o Passo 2 !

Passo 4

Vejamos a mola com rigidez k 1 . A mola resiste à deflexão dela! Isso significa que se uma extremidade da mola se afastar da outra, a mola vai puxar ela de volta pro comprimento natural. Essa resistência é a força que a mola gera, linear à variação de comprimento!

A extremidade esquerda da mola de rigidez k 1 está fixa. A massa vai para direita um comprimento x . A extremidade direita dessa mola vai se mover x para direita!

F k 1 = k 1 x

Como a mola é estendida para direita um comprimento x , a força F k 1 que resiste isso vai para esquerda! Show, mais uma vez, Passo 2 está correto.

Passo 5

Aqui vem a parte mais importante! A mola de rigidez k 2 vai mover a extremidade esquerda dela um comprimento x para direita. Mas a extremidade direita dessa mola vai também mover para direita segundo x B .

Lembre-se que falamos que a mola gera uma força para resistir que uma extremidade se movimento em relação a outra! Então não importa se a mola anda como um todo, o que importa é o quanto uma extremidade moveu em relação a outra!

A deflexão dessa mola é

δ = x - x B

Esse δ é o quanto a mola deformou para direita! Então ela resiste com uma força para esquerda! Essa força vai ser

F k 2 = k 2 ( x - x B )

Ótimo! Queríamos uma força para esquerda mesmo (Passo 2 ). Fique atento que se você pensar na outra direção, muda tudo!

Agora é só botar de volta na equação principal e mexer umas coisinhas.

Passo 6

m x ¨ + F c + F k 1 + F k 2 = 0

m x ¨ + c x ˙ + k 1 x + k 2 ( x - x B ) = 0

Vamos colocar a expressão x B = b cos ⁡ ω t , e além disso vamos agrupar os termos em relação a x e suas derivadas.

m x ¨ + c x ˙ + k 1 + k 2 x - k 2 b cos ⁡ ω t = 0

m x ¨ + c x ˙ + k 1 + k 2 x = k 2 b cos ⁡ ω t

Show, achamos a equação!

Passo 7

Pra fechar, queremos saber qual a frequência crítica ω c que ω deve assumir para causar grandes oscilações. Essa frequência é a que gera ressonância!

Ressonância acontece quando a frequência ω do forçamento se aproxima da frequência natural ω n do sistema.

Resta descobrirmos quem é ω n para esse sistema então. Isso é bem fácil!

Apesar da equação do Passo 6 ser ligeiramente diferente da equação que você está acostumado, você pode imaginar que na verdade o que temos ali é uma rigidez equivalente k e q = k 1 + k 2 e um forçamento harmônico F 0 cos ⁡ ω t em que a amplitude é F O = k 2 b .

Relembre a equação habitual

x ¨ + 2 ξ ω n x ˙ + ω n 2 x = F 0 m cos ⁡ ω t

Para fazemos nossa equação ficar nessa forma, só precisamos dividir por m !

x ¨ + c m x ˙ + k 1 + k 2 m x = k 2 b m cos ⁡ ω t

Comparando,

ω n 2 = k 1 + k 2 m

ω c = ω n = k 1 + k 2 m

Resposta

Equação do movimento:

m x ¨ + c x ˙ + k 1 + k 2 x = k 2 b cos ⁡ ω t

Frequência de ressonância:

ω C = k 1 + k 2 m

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