Enunciado

Em um jogo de bilhar, a bola A se desloca com uma velocidade v 0 = v 0 i quando ela atinge as bolas B e C , que estão em repouso uma ao lado da outra. Considerando as superfícies sem atrito e um choque perfeitamente elástico (ou seja, conservação de energia), determine a velocidade final de cada bola, considerando que a trajetória de A ( a )   é perfeitamente centrada e que A atinge B   e C simultaneamente, ( b ) não é perfeitamente centrada e que A atinge B um pouco antes de atingir C .

Passo 1

Fala aí, galerinha. Tudo certo? Bora para mais uma questãozinha de Dinâmica. Para determinarmos a velocidade final de cada bola, considerando que a trajetória de A é perfeitamente centrada, vamos começar traçando um diagrama para entendermos o problema:

Com isso, durante a colisão, os impulsos de contato fazem ângulos de 30 ° com a velocidade v 0 . Assim, podemos determinar a velocidade da bola B :

v B = v B ( cos ⁡ 30 ° i + sin ⁡ 30 ° j )

E para a velocidade da bola C , temos:

v C = v C ( cos ⁡ 30 ° i - sin ⁡ 30 ° j )

Por simetria, temos que:

v A = v A i

Em seguida, por conservação do momento linear, temos que:

m v 0 = m v A + m v B + m v C

Para o eixo y , temos:

0 = 0 + m v B sin ⁡ 30 ° - m v C sin ⁡ 30 ° v C = v B

E para o eixo x , temos:

m v 0 = m v A + m v B cos ⁡ 30 ° - m v C cos ⁡ 30 ° v C + v B = v 0 - v A cos ⁡ 30 ° v B = v C = v 0 - v A 3

Assim, através da conservação de energia, podemos determinar as velocidades de cada bola. Fica assim:

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v A 2 + 1 2 m v B 2 + 1 2 m v C 2 v 0 2 = v A 2 + 2 3 v 0 - v A 2 v 0 2 - v A 2 = v 0 - v A 2 = 2 3 v 0 - v A 2 v A = - 1 5 v 0

Agora, que encontramos a velocidade de A , vamos determinar as velocidades de B e C . Encontramos anteriormente que:

v B = v C = v 0 - v A 3

Substituindo:

v B = v C = v 0 - - 1 5 v 0 3 v B = v C = 2 3 5 v 0

Passo 2

Em seguida, temos a seguinte situação:

A bola A tem um primeiro impacto na bola B , que passa a estar em movimento com ângulo 30 ° com a horizontal e velocidade v 0 . Logo:

v B = v B ( cos ⁡ 30 ° i + sin ⁡ 30 ° j )

Em seguida, por conservação do momento linear, temos que:

m v 0 = m v A + m v B

Para o eixo y , temos:

0 = m v ' A y sin ⁡ 30 ° + m v B sin ⁡ 30 ° v ' A y = - v B sin ⁡ 30 °

E para o eixo x , temos:

v 0 = m v ' A x + m v B cos ⁡ 30 ° v ' A x = v 0 - v B cos ⁡ 30 °

Assim, através da conservação de energia, podemos determinar as velocidades de cada bola. Fica assim:

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v ' A x ²   + 1 2 m v ' A y ² + 1 2 m v B 2 1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 0 - v B cos ⁡ 30 ° 2 + 1 2 m v B sin ⁡ 30 ° 2 + 1 2 m v B 2

Logo, as velocidades vão ser:

v B = 3 2 v 0 v ' A x = v 0 sin 2 ⁡ 30 ° = 1 4 v 0 v ' A y = - v 0 cos ⁡ 30 ° sin ⁡ 30 ° = - 3 4 v 0

Passo 3

Por fim, após a bola A impactar a bola C , temos:

v C = v C ( cos ⁡ 30 ° i - sin ⁡ 30 ° j )

Em seguida, por conservação do momento linear, temos que:

m v ' A = m v A + m v C

Para o eixo y , temos:

v ' A y = m v ' A y - m v C sin ⁡ 30 ° v ' A y = 1 4 v 0 - v C cos ⁡ 30 °

E para o eixo x , temos:

m v ' A x = m v ' A x + m v C cos ⁡ 30 ° v ' A x = 1 4 v 0 - v C cos ⁡ 30 °

Assim, através da conservação de energia, podemos determinar as velocidades de cada bola. Fica assim:

1 2 m m v ' A x 2 + 1 2 m v ' A y 2 = 1 2 m v ' A x 2 + 1 2 m v ' A y 2 + 1 2 m v C 2 1 2 m 1 16 v 0 2 + 3 16 v 0 2 = 1 2 m 1 4 v 0 - v C cos ⁡ 30 ° 2 + - 3 4 v 0 + v C sin ⁡ 30 ° 2 + v C 2

Logo, as velocidades vão ser:

v C = 3 4 v 0 v ' A x = 1 4 v 0 - 3 4 v 0 cos ⁡ 30 ° = - 1 8 v 0 v ' A y = - 3 4 v 0 + 3 4 v 0 sin ⁡ 30 ° = - 3 8 v 0

É isso, galerinha. Bora praticar mais pra ficar craque!

Resposta

v B = v C = v 0 - - 1 5 v 0 3 v B = v C = 2 3 5 v 0

v B = 3 2 v 0 v ' A x = 1 4 v 0 v ' A y = - 3 4 v 0

v C = 3 4 v 0

v ' A x = - 1 8 v 0

v ' A y = - 3 8 v 0

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