Enunciado

O mastro de 9   m tem uma massa de 600   k g e tem centro de massa na metade do seu comprimento. Ele é apoiado por uma rótula em A e pelos dois cabos sob forças trativas T 1 e T 2 . O cabo que suporta a carga de 2000   k g passa por uma polia em B e é preso ao plano vertical x - y em F . Calcule o módulo da força trativa T 1 . (Sugestão: Escreva uma equação para o momento que elimina todas as incógnitas exceto T 1 ).

Passo 1

Primeiro precisamos representar as forças envolvidas no sistema. Isso inclui os pesos do mastro e da carga, as trações nos cabos e a força normal de reação em A :

Agora vamos seguir a sugestão do enunciado, temos que escolher algum eixo de referência para calcularmos o momento de forma que todas as incógnitas, exceto T 1 , desapareçam da equação.

Essas incógnitas desconhecidas são N A e T 2 . As linhas de ação dessas forças passam pelos pontos A e D , respectivamente. Então vamos calcular o momento em relação ao eixo A D , que já está representado por uma linha pontilhada no desenho.

E para projetar os momentos nesse eixo vamos precisar do vetor unitário na direção A D ^ :

A D ^ = 6   i ^ + 2 j ^ 6 2 + 2 2 = 1 10 3   i ^ + j ^

Passo 2

Beleza, agora vamos escrever as forças que sobraram em forma vetorial:

P → 1 = - m 1 g   j ^

P → 1 ' = m 1 g - 3   i ^ - 5   k ^ 3 2 + 5 2 = m 1 g 34 - 3   i ^ - 5 k ^  

P → 2 = - m 2 g   j ^

E para escrever T → 1 vamos precisar do vetor unitário na direção C E :

C E ^ = - 2   i ^ + 6   j ^ - 9   k ^ 2 2 + 6 2 + 9 2 = 1 11 - 2   i ^ + 6   j ^ - 9   k ^

T → 1 = T 1 C E ^ = T 1 11 - 2   i ^ + 6   j ^ - 9   k ^

Ok, e vamos precisar também dos vetores que dão a posição entre o eixo A D e o ponto onde cada força é aplicada. Por simplicidade, vamos tomar todos os vetores a partir do ponto A do eixo A D :

r → P 1 = 5   k ^

r → P 1 ' = 5   k ^

r → P 2 = 9 2   k ^

r → T 1 = 9   k ^

Passo 3

E então o momento em relação ao eixo A D pode ser calculado usando a fórmula:

M A D = ∑ r → i × F →   ∙ A D ^

E sabemos que esse momento é nulo, porque o sistema está em equilíbrio. Vamos resolver primeiro os produtos vetoriais:

r → P 1 × P → 1 = 5   k ^ × - m 1 g   j ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 5 0 - m 1 g 0 = 5 m 1 g   i ^

r → P 1 ' × P → 1 ' = 5   k ^ ×   m 1 g 34 - 3   i ^ - 5 k ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 5 - 3 m 1 g 34 0 - 5 m 1 g 34 = - 15 m 1 g 34 j ^

r → P 2 × P → 2 = 9 2   k ^ × - m 2 g   j ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 9 2 0 - m 2 g 0 = 9 m 2 g 2   i ^

r → T 1 × T → 1 = 9   k ^ × T 1 11 - 2   i ^ + 6   j ^ - 9   k ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 9 - 2 T 1 11 6 T 1 11 - 9 T 1 11 = - 18 T 1 11 j ^ - 54 T 1 11 i ^

E agora vamos pegar cada um desses resultados e fazer o produto escalar pelo vetor A D ^ , e substituir m 1 = 2   t e m 2 = 0,6   t .

5 m 1 g   i ^ ∙ 1 10 3   i ^ + j ^ = 15 m 1 g 10 = 93,1   k N

- 15 m 1 g 34 j ^ ∙ 1 10 3   i ^ + j ^ = - 15 m 1 g 340 = - 16,0   k N

9 m 2 g 2   i ^ ∙ 1 10 3   i ^ + j ^ = - 27 m 2 g 2 10 = 25,1   k N

- 18 T 1 11 j ^ - 54 T 1 11 i ^ ∙ 1 10 3   i ^ + j ^ = - 162 11 10   T 1 - 18 11 10 T 1 = - 5,17   T 1

Agora é só substituir na equação de equilíbrio:

M A D = 0

93,1 - 16,0 + 25,1 - 5,17   T 1 = 0

T 1 = - 93,1 + 16,0 - 25,1 - 5,17 = 19,76   k N

Resolvido!

Resposta

A força é T 1 = 19,76   k N .

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Determine a força trativa T necessária para manter o sólido retangular na posição mostrada. O sólido retangular com 125k g é homogêneo. O atrito em D é desprezível.
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Cada uma das três barras uniformes de 1200m m tem uma massa de 20k g . As barras estão soldadas juntas na configuração mostrada e estão suspensas por três arames verticais. As barras A B e B C estão n