Enunciado

O eixo de transmissão A B de um automóvel é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 56   MPa . Se o diâmetro externo do eixo for 62,5   mm e o motor transmitir 165   kW ao eixo quando estiver girando a 1140   rev/minuto , determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.

Passo 1

Fala! Tá bem?

Não se assusta com a história do carro. O que a gente tem aqui é apenas um eixo que transmite uma potência 165   kW sob frequência 1140   rev/minuto e queremos encontrar a espessura e da parede do eixo.

A tensão de cisalhamento no eixo não pode ultrapassar τ a d m = 56   MPa . E a gente quer saber qual é a expessura desse tubo que suporta essa potência sem ultrapassar essa tensão.

Vamos precisar da fórmula da torção para ter uma expressão para a tensão aplicada nesse cara e comparar com a tensão máxima:

τ = T   r J

Reunindo as características geométricasdo desse eixo, temos:

  • Raio externo: r e = 62,5 / 2 = 31,25   mm .
  • Espessura: e . (Desconhecido! É o que a gente quer encontrar)
  • Raio interno: r i = r e - e .
  • E como temos um tubo, o momento de inércia polar é dado por:

J = π r e 4 - r i 4 2

Para ajudar nas contas, podemos primeiro achar r i (Raio interno) necessário e depois calcular e , a expessura:

e = r e - r i

Para isso, primeiro precisamos descobrir qual é o torque atuando no eixo. Bora!

Passo 2

Cara, repara que ele nos deu uma potência e uma frequência, isso é uma dica para gente lembrar de transmissão de potência.

Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado com a frequência da seguinte maneira:

P = 2 π T f

Temos

P = 165   k W

f = 1140 r e v m i n = 1140   r e v / s

Repara que a gente dividiu nossa frequência por 60 para sairmos de r e v / m i n e irmos para r e v / s , unidade que pode ser usada na nossa fórmulinha.

Então podemos já achar o torque atuando nesse eixo usando esses dados na nossa fórmulinha:

165   k W = 2 π T 1140 60   rev/s  → 165 10 3 = 2 π T 1140 60  

Isolando T , encontramos:

T = 1382,14   Nm

Passo 3

Agora vamos ver qual raio interno r i pode aguentar a tensão admissível segundo esse torque. Repara na fórmula da tensão:

τ = T   r J

Percebe que quanto maior r maior τ , então a tensão máxima acontece no ponto da seção mais longe do centro, ou seja, na borda do tubo! Essa tensão que deve ser igual a nossa tensão admissível para que o tubo resista ao torque. Logo, r vai ser o raio externo r e do nosso tubo.

Assim a tensão máxima vai ocorrer na distância r e = 31,25   mm . (borda do tubo). Podemos usar a fórmula da torção para achar o valor que momento polar de inércia o eixo deve ter:

τ a d m = τ = T   r J      

  56 10 6 = 1382,14   ×   31,25 10 - 3 J

J = 7,71 10 - 7 m 4

Passo 4

Aí percebe que a gente tem a expressão de J :

J = π r e 4 - r i 4 2

E o valor de J que é J = 7,71 10 - 7   m . Então vamos igualar essas duas coisas e achar r i , já que temos r e :

7,71 10 - 7 = π r e 4 - r i 4 2    

      r i 4 = r e 4 - 2 7,71 10 - 7 π

Substituindo r e = 62,5 / 2 = 31,25   mm=0,03125 m :

r i 4 = 0,03125 4 - 2 × 7,71 10 - 7 π

r i = 0,02608   m = 26,08   mm

Passo 5

Só mais uma continha para achar a espessura:

e = r e - r i → e = 31,25 - 26,08 → e = 5,17   mm

Resposta

Espessura: e = 5,17   mm .

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