Enunciado

Uma mola, tendo um comprimento não deformado de 0,6   m , temo uma bola de 5   k g presa em uma extremidade. Determine o ângulo θ da mola se a bola tem uma velocidade de 1,8   m / s tangente à trajetória circular horizontal.

Passo 1

A chave de problemas de cinética está no diagrama de corpo livre. Ao identificarmos todas as forças que o nosso problema está sujeito, conseguiremos visualizar o que há de ser feito mais facilmente.

Relembrando do capítulo de cinemática, vimos que a aceleração centrípeta de um corpo é dada por:

a n = v 2 ρ

Relembrando também como se calcula a força elástica de uma mola, temos que o seu valor é dado pelo produto da sua constante elástica pela sua deformação, isto é

F e l = k x = 300 l - 0,6

Vamos a questão então!

Passo 2

Vamos começar por esboçar o diagrama de corpo livre do nosso problema. Desta forma, a bola está sujeita a:

Temos apenas a presença da força peso e da força elástica na nossa bola.

Passo 3

Na direção do eixo b , perpendicular ao plano dado pelas direções tangencial e normal, a bola não está sujeita a nenhuma aceleração. Portanto,

∑ F b = m ⋅ a b = 0

F e l ⋅ cos ⁡ θ - P = 0

300 ⋅ l - 0,6 cos ⁡ θ - 5 ⋅ 9,81 = 0

l = 0,1635 cos ⁡ θ + 0,6

Temos que determinar uma outra equação que relacione os valores de l e θ para podermos resolver um sistema. Para isto, vamos analisar agora as forças na direção normal.

Passo 4

Fazendo o somatório das forças na direção normal, obtemos:

∑ F b = m ⋅ a n

F e l ⋅ sen ⁡ θ = m ⋅ v 2 r

300 ⋅ l - 0,6 ⋅ sen ⁡ θ = 5 ⋅ 1,8 2 r

Opa, chegamos a um impasse. Quem é esse r que aparece na equação acima?

Se lembrarmos da componente normal da aceleração, lembramos que ela é o raio da trajetória. Hum, já temos uma informação. E como obtemos ele??? Para isto, precisamos observar a geometria do nosso problema. Ele nos diz que:

r = 0,15 + l sen ⁡ θ

Portanto, temos:

300 ⋅ l - 0,6 ⋅ sen ⁡ θ = 5 ⋅ 1,8 2 0,15 + l sen ⁡ θ

300 ⋅ 0,1635 cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ = 5 ⋅ 1,8 2 0,15 + 0,1635 cos ⁡ θ + 0,6 sen ⁡ θ

9,81 tan ⁡ θ = 1,8 2 0,15 + 0,1635 tan ⁡ θ + 0,6 sen ⁡ θ

Esta é uma equação difícil de se resolver analiticamente. Utilizando ferramentas computacionais, descobrimos que θ = 30,8 ° . Com este valor voltamos para calcular o comprimento l final da mola. Portanto, obtemos:

l = 0,79   m

Resposta

θ = 30,8 °

l = 0,79   m

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