Enunciado

Determine o tempo para o satélite completar a sua órbita em torno da Terra. A órbita tem um raio r medido a partir do centro da Terra. As massas do satélite e da Terra são m s e M e , respectivamente.

Passo 1

A chave de problemas de cinética está no diagrama de corpo livre. Ao identificarmos todas as forças que o nosso problema está sujeito, conseguiremos visualizar o que há de ser feito mais facilmente.

Relembrando do capítulo de cinemática, vimos que a aceleração centrípeta de um corpo é dada por:

a n = v 2 ρ

Além disto, precisamos relembrar como se calcula a força gravitacional entre dois corpos. Ela é dada por:

F = G M e m s ρ 2

Utilizando estas duas relações, conseguiremos determinar a velocidade do satélite. Como ela é constante, para descobrirmos qual é o tempo necessário para dar uma volta, basta relembrarmos as primeiras equações aprendidas da cinemática e calcular:

T = Δ s v = 2 π r v

Vamos a questão então!

Passo 2

Considerando o satélite uma partícula, podemos esboçar o seu diagrama de corpo livre. No plano dado pela direção normal e tangencial, o mesmo está sujeito apenas a ação da força gravitacional na direção normal. Portanto, temos o seguinte diagrama.

Passo 3

Conforme pode ser visualizado no diagrama de corpo livre esboçado no passo anterior, o satélite está sujeito apenas a ação da força gravitacional na direção normal. Como ele possui uma trajetória circular, ele está sujeito a uma aceleração centrípeta.

Portanto, vamos fazer o somatório de forças nesta direção. Obtemos então:

∑ F n = m s ⋅ a n = m s ⋅ v 2 r

G M e m s r 2 = m s ⋅ v 2 r

v = G M e r

Passo 4

Agora, só nos falta calcular o tempo para o satélite dar uma volta ao redor da Terra. Utilizando a relação do Passo 1, temos:

T = 2 π r v = 2 π r G M e

Resposta

T = 2 π r G M e

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