Enunciado

Se o momento combinado das duas forças em relação ao ponto C é zero, determine:

(a) o módulo da força P → ;

(b) o módulo R da resultante das duas forças;

(c) as coordenadas x e y do ponto A sobre a periferia da roda, em relação ao qual o momento combinado das duas forças é máximo;

(d) o momento combinado M A das duas forças em relação a A .

Passo 1

Vamos chamar de R a resultante entre as forças P e a de 100   N . Se essa resultante produz momento nulo em relação a C , essa força precisa ser paralela à linha que une C ao ponto de ação dessa força.

Isso vai render um desenho bem complicado (e fora de escala), mas vamos lá:

Perceba que o primeiro paso desse desenho foi desenhar uma linha que passa pelo ponto C contendo a resultante das duas forças.

Precisamos encontrar aqueles dois ângulos α e β . Vamos calcular a tangente de α olhando para o ponto onde ele está mais próximo de C :

tan ⁡ α = 80 d + 80

E também podemos calcular d :

d = 40 tan ⁡ 60 ° = 23,1   m m

Então:

α = arctan ⁡ 80 23,1 + 80 = 37,8 °

E como a soma dos ângulos internos de um triângulo precisa ser igual a 180 ° :

β = 180 ° - ( 120 ° + α )

β = 22,2 °

Passo 2

(a) Agora podemos usar a lei dos senos para encontrar a força P :

P sen ⁡ β = 100 sen ⁡ α

P = 100 sen ⁡ 22,2 ° sen ⁡ ( 37,8 ° ) = 61,6   N

Passo 3

(b) E fazendo a mesma coisa para a força resultante R :

R sen ⁡ 120 ° = 100 sen ⁡ α

R = 100 sen ⁡ 120 ° sen ⁡ 37,8 ° = 141,3   N

Passo 4

(c) O ponto em relação ao qual o momento das duas forças é máximo é aquele que está na reta perpendicular à direção da força resultante. Vamos reformular o desenho, mostrando como podemos chegar em uma expressão para essa coordenada:

Esse monte de linhas apareceu para mostrarmos como aquele ângulo α foi parar ali! Como o raio do círculo é 80   m m :

x = 80 sen ⁡ α = 80 sen ⁡ 37,8 ° ≅ 49   m m

y = 80 cos ⁡ α = ( 80 ) ( cos ⁡ 37,8 ) ≅ 63,2   m m

Passo 5

(d) Por último queremos saber qual é o momento combinado das duas forças em relação a esse ponto A cujas coordenadas nós acabamos de calcular.

Bom, nós já vimos que o módulo da força resultante é:

R = 141,3   N

Agora só precisamos multiplicar isso pela distância entre a linha de ação dessa força e o ponto A . Olhando para a figura acima dá pra ver que essa distância resulta na seguinte expressão:

M A = R 0,08 + 0,04 cos ⁡ α

M A = 141,3 0,08 + 0,04 cos ⁡ 37,8 ° = 15,77   N m

E esse momento age no sentido horário.

Resposta

(a) P = 61,6   N

(b) R = 141,3   N

(c) x = 49,0   m m e y = 63,2   m m

(d) M A = 15,77   N m (sentido horário)

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