Enunciado

O poste é feito de alumínio 6061 -T 6 e tem 50   mm de diâmetro. Está preso aos suportes A e B e em seu centro C há uma mola espiral acoplada ao colar rígido. Se a mola não estiver comprimida na posição inicial, determine a compressão na mola quando a carga P = 50   kN for aplicada ao colar.

Passo 1

Um poste está mantido entre duas paredes: A e B . Em seu centro ( C ) , uma mola não deformada está acoplada até a extremidade B . Uma força P = 50   kN é aplicada em C para baixo.

Características do poste:

  • Alumínio 6061 -T 6 : E = 68,9   GPa. (Tabelado)
  • Diâmetro: d = 50   mm .
  • Comprimento inicial: L = 0,5   m .

Características da mola:

  • Rigidez: k = 200   MN/m .
  • Está não deformada antes de P aparecer.

A força P = 50   kN vai comprimir a metade de baixo do poste ( C B ) e esticar a parte de cima ( A C ). Além disso, vai comprimir a mola também, então ela vai reagir com uma força.

Queremos descobrir o quanto a mola deforma. Vamos chamar a deflexão dela (o quanto ela comprime) de δ B .

Passo 2

Primeiro temos que entender melhor como o poste está se deformando. Vamos pegar uma seção acima de C e uma seção abaixo de C .

A força P puxa C para baixo, então dois efeitos irão ocorrer:

  • A seção superior ( A C ) sofre uma tração, alongando um comprimento δ A .
  • A seção inferior ( C B ) sofre uma compressão, diminuindo um comprimento δ B .

Queremos esse δ B . Pela fórmula da relação carga-deslocamento temos

δ = F   L A   E

A área a gente consegue calcular, L e E já temos. Só falta descobrir a força então!

Com as seções cortadas em C , as forças ficam como na figura.

Então para o deslocamento da metade inferior ( δ _ B ) precisamos de F B !

Passo 3

Aí você já sabe. Procurando força = diagrama de corpo livre.

Condição de equilíbrio:

∑ F = 0 → F A + F B + F C = P

A força F C é desenvolvida pela mola. Ela depende de o quanto a metade inferior do poste é comprimido:   δ B . Usando a relação linear F = k   δ de uma mola:

F A + F B + k   δ B = P

O δ B a gente já sabe que está relacionado a F B por:

δ B =   F B ⋅ 0,25   m A   E

Então,

F A + F B + k ⋅ 0,25   m A   E F B = P

Duas incógnitas e uma equação. Vamos manter nosso plano de achar F B primeiro procurando por mais uma equação com a condição de compatibilidade.

Passo 4

Agora vem o grande macete desses exercícios. O poste está entre duas paredes rígidas! Então ele não pode ultrapassar elas. O resultado dos dois efeitos (aumentar e diminuir) tem que ser zero:

δ A - δ B = 0

F A ⋅ 0,25   m A   E = F B ⋅ 0,25   m A   E

F A = F B

Passo 5

Pronto, só usar essa relação F A = F B na equação de equilíbrio.

Vamos precisar da área do poste: A = π d 2 / 4 = 1963,50   mm 2 .

F A + F B + k ⋅ 0,25   m A   E F B = P → 2,369 F B = 50   kN

F B = 21,10   kN

Agora é só calcular o δ B !

Passo 6

Usando a fórmula:

δ B =   F B ⋅ 0,25   m A   E = 21,10   kN ⋅ 0,25   m 1963,50   mm 2 ⋅ 68,9   GPa

δ B = 0,03899   mm

Resposta

Compressão da mola: δ B = 0,03899   mm .

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