Enunciado

As principais características de uma pequena retroescavadeira estão mostradas na ilustração. O elemento B E (completo, com o cilindro hidráulico C D e as hastes de controle da caçamba D F e D E ) tem uma massa de 200 kg, e um centro de massa em G 1 . A caçamba e sua carga de argila tem uma massa de 140 kg e um centro de massa em G 2 . Para determinar as características do projeto operacional da retroescavadeira, determine a força T no cilindro hidráulico A B em função da posição angular θ do elemento B E e faça um gráfico na faixa 0 ≤ θ ≤ 90 ° . Para que valores de θ a força T se anula? O elemento O H é fixo para esse exercício; observe que seu cilindro hidráulico de controle (não mostrado) vai de um ponto próximo a O até o pino I . Semelhantemente, o cilindro hidráulico de controle da caçamba C D é mantido em um comprimento fixo.

Passo 1

Para entender melhor a física do problema, vamos tentar representar em diagrama de corpo livre o corpo que devemos analisar. Temos o elemento B E junto com a caçamba sofrendo os pesos em G 1 e G 2 :

Devemos ter o momento total em torno do ponto H igual a zero.

Passo 2

Primeiro vamos calcular os momentos causados pelos pesos P → 1 e P → 2 . Ambos os momentos são horários, então serão negativos no eixo z (sentido convencional, com x para a direita, y para cima e z para fora do papel). A distância horizontal de P 1 até H é:

d 1 = 100 cos ⁡ θ + 450 sen ⁡ θ

A distância d 2 entre H e P 2 é:

d 2 = 100 cos ⁡ θ + 1250 sen ⁡ θ - 300 cos ⁡ θ = 1250 sen ⁡ θ - 200 cos ⁡ θ

Então:

M P = - m 1 g d 1 - m 2 g d 2

= - 200 g 100 cos ⁡ θ + 450 sen ⁡ θ - 140 g ( 1250 sen ⁡ θ - 200 cos ⁡ θ )

= - g 20000 cos ⁡ θ + 90000 sen ⁡ θ + 175000 sen ⁡ θ - 28000 cos ⁡ θ

= - g ( 265000 sen ⁡ θ - 8000 cos ⁡ θ )

⇒ M P = 1000 g ( 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ )

Agora só falta calcular o momento causado por T → .

Passo 3

Vamos calcular T → por um enforque vetorial. Temos:

T → = T n ^ H A

Onde n ^ H A é o vetor unitário que indica a direção de T → . Vamos primeiro calcular n ^ H A :

Como vemos na figura:

r → H A = - 850 + 100 cos ⁡ θ - 300 sen ⁡ θ i ^ - 600 + 100 sen ⁡ θ + 300 cos ⁡ θ j ^

Agora vamos calcular o módulo desse vetor:

r → H A 2 = 850 + 100 cos ⁡ θ - 300 sen ⁡ θ 2 + 600 + 100 sen ⁡ θ + 300 cos ⁡ θ 2

= 722500 + 10000 cos 2 ⁡ θ + 90000 sen 2 ⁡ θ + 85000 cos ⁡ θ - 255000 sen ⁡ θ

- 30000 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 360000 + 10000 sen 2 ⁡ θ + 90000 cos 2 ⁡ θ

+ 60000 sen ⁡ θ + 180000 cos ⁡ θ + 30000 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

= 1082500 + 100000 cos 2 ⁡ θ + 100000 sen 2 ⁡ θ - 195000 sen ⁡ θ + 265000 cos ⁡ θ

= 1182500 - 195000 sen ⁡ θ + 265000 cos ⁡ θ

⇒ r → H A = 1182500 - 195000 sen ⁡ θ + 265000 cos ⁡ θ

= 50 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ

Agora encontramos então o vetor unitário n ^ H A :

n ^ H A = r → H A r → H A = - 850 + 100 cos ⁡ θ - 300 sen ⁡ θ i ^ + 600 + 100 sen ⁡ θ + 300 cos ⁡ θ j ^ 50 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ

= - 17 + 2 cos ⁡ θ - 6 sen ⁡ θ i ^ + 12 + 2 sen ⁡ θ + 6 cos ⁡ θ j ^ 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ

Então:

T → = - T 17 + 2 cos ⁡ θ - 6 sen ⁡ θ i ^ + 12 + 2 sen ⁡ θ + 6 cos ⁡ θ j ^ 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ

Passo 4

Pronto, agora que temos as componentes de T → calculamos o momento em torno de H . A distância horizontal entre B e H é:

x = 300 sen ⁡ θ - 100 cos ⁡ θ  

E a distância vertical:

y = 100 sen ⁡ θ + 300 cos ⁡ θ

O momento causado pelas duas componentes é anti-horário (positivo). Então:

M T = x T y + y T x =

= 100 3 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 12 + 2 sen ⁡ θ + 6 cos ⁡ θ 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ T

+ 100 sen ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ 17 + 2 cos ⁡ θ - 6 sen ⁡ θ 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ T

= 100 T 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ ( 36 sen ⁡ θ + 6 sen 2 ⁡ θ + 18 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 12 cos ⁡ θ

- 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 6 cos 2 ⁡ θ + 17 sen ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 6 sen 2 ⁡ θ + 54 cos ⁡ θ + 6 cos 2 ⁡ θ

- 18 sen ⁡ θ cos ⁡ θ )

= 100 T ( 53 sen ⁡ θ - 42 cos ⁡ θ ) 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ

Passo 5

Agora, queremos somar os momentos e igualar a zero para encontrar T :

M P + M T = 0

⇒ M P = - 1000 g 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ + 100 T 53 sen ⁡ θ - 42 cos ⁡ θ 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ = 0

⇒ 100 T ( 53 sen ⁡ θ - 42 cos ⁡ θ ) 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ = 1000 g 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ

⇒ T = 1000 g 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ ⋅ 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ 100 53 sen ⁡ θ - 42 cos ⁡ θ

⇒ T ( θ ) = 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ 53 sen ⁡ θ - 42 cos ⁡ θ g

Como 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ é sepre positivo, T será zero quando 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ for zero. Então:

8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ = 0 ⇒ 8 cos ⁡ θ = 265 sen ⁡ θ

⇒ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = tg ⁡ θ = 8 265 = 0,03

θ = arctan ⁡ ( 0,03 ) = 1,729 °

É o ângulo θ que faz a tração ser zero.

Resposta

T ( θ ) = 473 - 78 sen ⁡ θ + 106 cos ⁡ θ 8 cos ⁡ θ - 265 sen ⁡ θ 53 sen ⁡ θ - 42 cos ⁡ θ g

T θ 0 = 0 ⇒ θ 0 = 1,729 °

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