Enunciado

Um projétil é lançado a partir do ponto A com as condições iniciais mostradas na figura. Determine a distância inclinada s que posiciona o ponto B de impacto. Calcule o tempo de voo t .

Passo 1

Galera, pra determinar a distância s , a gente precisa descobrir qual o ponto de cruzamento entre a trajetória da parábola e o piso inclinado, que será o ponto B .

Então, vamos começar equacionando o movimento horizontal:

x = - 800 + v 0 cos ⁡ θ   t

t = x + 800 v 0 cos ⁡ θ

Acima e em todos os demais cálculos, consideraremos o vértice a 800   m de A como a origem do sistema de coordenadas.

Para o movimento vertical, teremos:

y = 0 + v 0   s e n   θ   t - 1 2 g t 2

Substituiremos a expressão de t encontrada:

y = v 0   s e n   θ x + 800 v 0 cos ⁡ θ - 1 2 g x 2 + 1600 x + 640000 v 0 2 cos 2 ⁡ θ

y = t g   θ   x + 800 - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ x + 800 2

Passo 2

Agora que conseguimos escrever y somente em função x (os outros valores g , v 0 e θ são conhecidos), temos a equação da trajetória, da parábola mostrada no desenho.

Podemos também escrever uma equação da reta formada pelo piso inclinado, olha só:

y = - t g   20 ° x = - 0,36 x

pois o coeficiente angular dessa reta seria justamente a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x positivo, e o coeficiente linear é zero porque a reta passa pela origem do nosso sistema de coordenadas.

Então, para descobrir as coordenadas do ponto B , basta igualar y nas duas equações:

t g   θ   x + 800 - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ x + 800 2 = - 0,36 x

Para facilitar as contas, já vamos substituir g = 9,8   m / s 2 , v 0 = 120   m / s e θ = 40 ° :

0,84 x + 800 - 0,00058 x 2 + 1600 x + 640000 = - 0,36 x

0,00058 x 2 - 0,272 x - 301 = 0

x B = 992   m

Então, o ponto B está 992   m à direita da origem. Olhando pra figura e usando propriedades de ângulos em triângulos retângulos, temos:

cos ⁡ 20 ° = x B s = 992   m s

s = 992   m cos ⁡ 20 ° = 1056   m

Passo 3

Pra achar o tempo de voo, voltamos naquela primeira expressão do tempo que encontramos:

t = x + 800 v 0 cos ⁡ θ

Substituindo x = 992   m , v 0 = 120   m / s e θ = 40 ° , obtemos:

t = 19,5   s

Resposta

s = 1056   m

t = 19,5   s

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