Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, dimensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12   M P a e τ a d m = 860   k P a .

Passo 1

Oi, fala aí, galerinha!!! Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em A   e   B , por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  3. Calcular o módulo resistente da seção W .
  4. Utilizar o momento fletor máximo o módulo resistente da seção e a máxima tensão admissível σ a d m para achar o comprimento d .

Passo 2

Para facilitar fazer um desenho das forças:

Aplicando a equação de equilíbrio em relação à vertical vamos ter:

∑ F y = 0

Lembrando que vamos ter dois carregamentos triangulares e um retangular. O retangular vai valer:

F r e t a n g u l a r = 18 × 1,8 = 32,4   k N

E cada um dos triangulares:

F t r i a n g u l a r = 0 + 18 2 × 0,9 = 8,1   k N

Substituindo:

A y - 8,1 - 32,4 - 8,1 + B y = 0

A y + B y = 48,6   k N

Não há forças na horizontal. Logo A x = 0

Como a figura é simétrica, então as reações são iguais, portanto:

A y = B y = 24,3   k N

Passo 3

Nós queremos o máximo momento fletor máximo, como a viga é simétrica isso ocorre exatamente no meio, além disso, também pelo fato de ser simétrica a força cortante é zero nesse ponto logo vamos poder calcular o momento fletor máximo a partir do momento do carregamento triangular mais metade do retangular:

M r e t a n g u l a r = F r e t a n g u l a r 2 × 0,9 + d 2

M r e t a n g u l a r = 32,4 2 × 0,9 + 0,9 2 = 21,87   k N . m

Para o triangular:

M t r i a n g u l a r = F t r i a n g u l a r × 2 3 × 0,9

M t r i a n g u l a r = 8,1 × 0,6 = 4,86   k N . m

O momento fletor máximo será a soma dos dois:

M m á x = 21,87 + 4,86 = 26,73   k N . m

Passo 4

Com isso a gente pode achar o valor da tensão cisalhante normal máxima da fora:

σ = M . c I

Mas a gente não vai fazer essa conta direto, vamos utilizar uma propriedade chamada de módulo resistente da seção W , que é dada por:

W = I c

Ou seja, o momento de inércia I sobre a maior distância até a linha neutra c . Vamos calcular esse W ?

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 d / 3 d 3

c = d 2

Assim:

W = 1 12 d / 3 d 3 d / 2

Reorganizando:

W = ( 0,055 ) ( d 3 )

Vamos guardar esse valor porque isso é importante!

Passo 5

Agora vamos substituir na equação da tensão normal:

Perceba que como

W = I / c

Então:

σ = M W

Aí aqui a gente vai fazer o négocio um pouco diferente. Se lembra que eu disse que o W era importante? Então, agora que vamos utiliza-lo porque a equação acima pode ser escrita como:

W = M m á x σ a d m

Agora é só substituir os valores que a gente já achou!

Aqui podemos utilizar o momento fletor em módulo:

( 0,055 ) ( d 3 ) = 26,73 × 10 3 12 × 10 6

d = 201   m m

Porém isso não é o bastante =(

A gente tem que ver se o carregamento não faz a estrutura falhar por cisalhalhamento.

Passo 6

Para fazer essa análise a gente vai utilizar a aproximação para seções retangulares:

τ a d m = 3 2 V m á x A  

A gente pode achar o V m á x que também vai ocorrer exatamente em A:

V m á x   = A y = 24,3   k N

V m á x = 2 4,3   k N

Substituindo os valores

τ a d m = 3 2 V m á x A  

825 × 10 3 = 3 2 24,3 × 10 3 A  

A = 0,04418   m 2

A = d 3 × d

d = 3 × 0,04418 = 364   m m

Então a dimensão de d deve ser igual a 3 64   m m

Resposta

d = 364   m m

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